KÓŁECZKO ZE ZŁOŻEŃ IZOMETRII I JEDNOKŁADNOŚCI (12.12.07)

1. TEORIA (o jednokładności)

Złożenie dwóch jednokładności o środkach O_{1}, O_{2}jest:

• jeśli α · β = 1 - przesuni_{}eciem o wektor O⃗_{2}O_{1}

• jeśli α · β różne od 1 - jednokładności _{}a o skali α · β i środku leż _{}acym na prostej O_{1}O_{2}

2. ZADANIA

2.1. Czworok _{}at ABCD jest wpisany w ok _{}ag. Na bokach AB i CD tego czworok _{}ata budujemy, po jego zewn_{}etrznej stronie, przystaj _{}ace prostok _{}aty o bokach długości AB i CD. Analogicznie, na bokach BC i DA budujemy, po zewnętrznej stronie czworok _{}ata ABCD przystaj _{}ace prostok _{}aty o bokach długości BC i DA. Wykazać, że środki tych czterech prostok _{}atów s _{}a wierzchołkami prostok _{}ata.

2.2. Punkty D, E, F, leż _{}a odpowiednio na bokach BC, CA, AB trójk _{}ata ABC. W czworok _{}aty AF DE, CEF D, DEF B da si_{}e wpisać okr_{}egi. Wykazać, że proste AD, BE, CF przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

2.3. Kwadraty ABCD i P QRS s _{}a jednakowo zorientowane. Wykazać, że środki odcinków AP, BQ, CR, DS s _{}a wierzchołkami kwadratu.

2.4. Dany jest trójk _{}at ABC. Okr _{}ag o_{1} jest styczny do jego boków AB i BC, okr _{}ag o_{2} - do boków BC i CA, zaś okr _{}ag o_{3} - do boków CA i AB. Okr _{}ag o_{4} jest styczny zewn_{}etrznie do okr_{}egów o_{1}, o_{2}, o_{3} w punktach odpowiednio X, Y, Z. Wykazać, że proste AX, BY, CZ przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

2.5. Przystaj _{}ace, rozł _{}aczne okr_{}egi o_{1} i o_{2} s _{}a styczne wewn_{}etrznie do okr_{}egu o w punktach odpowiednio A i B. Punkt P należy do okr_{}egu o, odcinki P A i P B przecinaj _{}a okr_{}egi o_{1} i o_{2} odpowiednio w punktach C i D. Wykazać, że AB ∥ CD.

2.6. Dany jest czworok _{}at wypukły ABCD oraz trójk _{}aty prostok _{}atne równoramienne ABP, BCQ, CDR, DAS, nie leż _{}ace na zewn _{}atrz czworok _{}ata ABCD, o k _{}atach prostych przy wierzchołkach P, Q, R, S. Wykazać, że jeżeli P = R, to Q = S.

2.7. Czworok _{}at wypukły ABCD podzielono na dziewi_{}ec czworok _{}atów wypukłych, jak na rysunku. Wykazać, że jeśli w zacieniowane czworok _{}aty można wpisać okr_{}egi, to proste AX, BY, CZ i DT przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.