Włoska olimpiada

1. Znaleźć wszystkie trójki p, q, n, gdzie p, q pierwsze a n całkowite dodatnie, że:

p(p + 3) + q(q + 3) = n(n + 3)

2. Pokazać, że jeśli liczba 6-cyfrowa o wszystkich cyfrach różnych i różnych od 0 dzieli si_{}e przez 37, to permutuj _{}ac jej cyfry można uzyskać jeszcze przynajmniej 23 inne liczby podzielne przez 37.

3. Funkcje f, g : [2, 4] → [2, 4] spełniaj _{}a warunki:

f(g(x)) = x, g(f(x)) = x, f(x)g(x) = x^{2}

Pokazać, że dla każdego x ∈ [2, 4] zachodzi f(x) = g(x) = x.

4. Liczby rzeczywiste x, y, a, b, c spełniaj _{}a równosci:

a^{3} = ax + y
b^{3} = bx + y
c^{3} = cx + y

przy czym a ≠ b ≠ c. Pokazać, że a + b + c = 0.

5. Dany jest trójk _{}at ABC i prosta r. Niech D, E, F b_{}ed _{}a rzutami A, B, C na prost _{}a r. Niech h_{a}, h_{b}, h_{c} b_{}ed _{}a prostymi prostopadłymi do boków BC, AC, AB przechodz _{}acymi odpowiednio przez D, E, F. Pokazać, że h_{a}, h_{b}, h_{c} przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

6. Pokazać, że dla 0 < x, y, z < 1 zachodzi:

\frac{a}{1 − a} + \frac{b}{1 − b} + \frac{c}{1 − c} \frac{3\sqrt[3]{abc}}{1 − \sqrt[3]{abc}}

7. Pokazać, że dla każdego n całkowitego dodatniego zachodzi:

(n + 1)(n + 2) …(2n) = 2^{n}(1 · 3 · . . . · (2n − 1))

.

8. Punkt P leży na płaszczyźnie, zaś H, J, K to odpowiednio jego rzuty na proste BC, AC, AB odcinaj _{}ace trójk _{}at ostrok _{}atny ABC. Okr _{}ag opisany na trójk _{}acie HJK przecina prost _{}a BC ponownie w D, AC ponownie w E zaś AB ponownie w F. Pokazać, że proste prostopadłe do BC, AC, AB poprowadzone odpowiednio w D, E, F przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

9. Pokazać, że dla dowolnych m, n, a, b, c rzeczywistych dodatnich zachodzi:

\frac{a}{mb + nc} + \frac{b}{mc + na} + \frac{c}{ma + nb} \frac{3}{m + n}