Powrót wielomianów

1. Niech P (x) b_{}edzie wielomianem o współczynnikach całkowitych stopnia co najmniej 1. Pokazać, że dla nieskończenie wielu liczb pierwszych p istnieje takie a całkowite, że p|P (a).

2. Niech P (x) b_{}edzie wielomianem o współczynnikach całkowitych stopnia co najmniej 1. Pokazać, że nierówność:

|P (x) − P (0)| < |x|

jest spełniona dla skończonej liczby liczb całkowitych x.

3. Liczby rzeczywiste a, b, c, d spełniaj _{}a żownania:

\{ \begin{matrix}a + b + c + d = −3 \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 7 \\ abc + abd + acd + bcd = 3 \end{matrix}

Pokazać, że istnieje taka liczba rzeczywista M, że M abcd −2.

4. Niech P b_{}edzie wielomianem o współczynnikach całkowitych, przyjmuj _{}acym dla pewnych dwóch różnych liczb całkowitych wartości wzgl_{}ednie pierwsze. Dowieść, że istnieje nieskończony zbiór liczb całkowitych dla których wielomian P przyjmuje wartości parami wzgl_{}ednie pierwsze.

5. Stopień wielomianu P o współczynnikach rzeczywistych jest nieparzysty. Ponadto dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi:

P (x^{2} − 1) = (P (x))^{2} − 1

Pokazać, że dla każdej liczby rzeczywistej zachodzi P (x) = x.

6. Dany jest czworościan ABCD (niekoniecznie foremny) maj _{}acy nastepuj _{}ac _{}a własność: Istnieje sfera κ = κ(A, B, C), dla której:

(a) BC jest średnic _{}a okr_{}egu powstałego z przeci_{}ecia κ z płaszczyzn _{}a BCD

(b) AC jest średnic _{}a okr_{}egu powstałego z przeci_{}ecia κ z płaszczyzn _{}a ACD

(c) AB jest średnic _{}a okr_{}egu powstałego z przeci_{}ecia κ z płaszczyzn _{}a ABD

Udowodnić, że istniej _{}a sfery κ(A, B, D), κ(B, C, D) i κ(C, A, D) maj _{}ace analogiczne własności do (a), (b) i (c).