Wielomiany

03.12.2008

1. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych taki, by:

W (7) = 11 i W (11) = 13.

2. Znaleźć reszty z dzielenia wielomianu (x^{2} − x − 1)^{2008} przez:

(i) wielomian x − 1; (ii) wielomian x^{2} − 1.

3. Niech W (x) będzie wielomianem unormowanym (wszystkie współczynniki całkowite, współczynnik przy najwyższej potędze równy 1). Wykazać, że jeśli ten wielomian posiada pierwiastek wymierny x_{0}, to jest on całkowity.

4. Niech W (x) będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych takim, że istniej _{}a 4 różne argumenty całkowite x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} spełniaj _{}ace:

W (x_{1}) = W (x_{2}) = W (x_{3}) = W (x_{4}) = 1.

Wykazać, że nie istnieje takie całkowite x_{5}, by W (x_{5}) = −1.

5. Rozwi _{}azać w liczbach rzeczywistych układ równań:

\{ \begin{matrix}x & + & y & + & z & = & 2 \\ x^{2} & + & y^{2} & + & z^{2} & = & 14 \\ x^{3} & + & y^{3} & + & z^{3} & = & 20. \end{matrix}

6. Wielomian P (x) ma współczynniki całkowite. Udowodnić, że jeżeli wielomiany P (x) oraz P (P (P (x))) maja wspólny pierwiastek rzeczywisty, to maj _{}a także wspólny pierwiastek całkowity.