KÓŁECZKO Z WIELOMIANÓW (10.10.2007)

1. TEORIA

1.1. Definicja - Wielomianem nazywamy funkcj_{}e W : ℝ → ℝ dan _{}a wzorem: W (x) = a_{n}x^{n}+a_{n−1} x^{n−1} +...+a_{1}x+a_{0} dla pewnych liczb rzeczywistych a_{n}, a_{n−1} , …, a_{0}. Liczby te nazywamy wpółczynnikami wielomianu W, zaś n jego stopniem. Liczb_{}e b tak _{}a, że W (b) = 0 nazywamy pierwiastkiem wielomianu.

1.2. Twierdzenie Bezout - Liczba rzeczywista x_{0} jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy gdy wielomian W można przedstawić w postaci (x − x_{0})P (x) dla pewnego wielomianu P (Jeśli W ma współczynniki całkowite, to P również).

1.3. Wzory Vietea - Jeśli wielomian W stopnia n ma n pierwiastków rzeczywistych x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, to:

x_{1} + x_{2} + … + x_{n} = −\frac{a_{n−1}}{a_{n}} x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + … + x_{n−1} x_{n} = \frac{a_{n−2}}{a_{n}} … x_{1}x_{2} …x_{n} = (−1)^{n} \frac{a_{0}}{a_{n}}

1.4. Fakcik o pierwiastkach wymiernych Jeśli wielomian W (x) = a_{n}x^{n} +a_{n−1} x^{n−1} +…+a_{1}x+a_{0} ma wszystkie współczynniki całkowite i liczba wymierna \frac{p}{q} jest jego pierwiastkiem (gdzie NW D(p, q) = 1), to p|a_{0} i q|a_{n}.

1.5. Fakcik o podzielności Jeśli W ma wszystkie współczynniki całkowite, to dla dowolnych całkowitych liczb a, b

zachodzi a − b|W (a) − W (b).

2. ZADANKA

2.1. Wykazać, że jeśli W jest wielomianem o współczynnikach całowitych, 9|W (223) i 223|W (9), to 2007|W (232).

2.2. Rozwi _{}azać układ równań

\{ \begin{matrix}a + b + c + d = −1 \\ ab + ac + ad + bc + bd + cd = −7 \\ abc + abd + acd + bcd = 13 \\ abcd = −6 \end{matrix}

2.3. Liczby rzeczywiste a_{1}, a_{2}, …, a_{n} spełniaj _{}a warunek ∑ _{i=1}^{n} a_{i} 3n. Udowodnić, że ∑ _{i=1}^{n} a_{i}^{2} 8n

2.4. Wielomian P (x) stopnia n o współczynnikach rzeczywistych dla dowolnej liczby k ∈ {0, 1, …, n} spełnia równość:

P (k) = \frac{k}{k + 1}

Obliczyć P (n + 1).

2.5. Niech P (x) b_{}edzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Udowodnić, że jeśli w conajmniej sześciu różnych liczbach całkowitych przyjmuje on wartość 2007, to nie ma pierwiastków całkowitych.

2.6. Dany jest ci _{}ag X 1001 liczb całkowitych x_{1}, x_{2}, …, x_{1001} o nast_{}epuj _{}acej własności: dla dowolnego wielomianu P (x) stopnia 2 o współczynnikach całkowitych istniej _{}a trzy elementy ci _{}agu X, mianowicie k, l, m, że P (k) = P (l) = P (m). Pokazać, że w ci _{}agu X istnieje co najmniej jedna trójka równych wyrazów.

2.7. Wyznaczyć wszystkie takie pary (n, r), że n ∈ ℕ, r ∈ ℝ oraz wielomian (x − 2)^{n} − r dzieli si_{}e przez x^{2} − 2x + 2.

2.8. Wielomian o współczynnikach całkowitych przyjmuje wartość 2 dla trzech różnych argumentów całkowitych. Wykazać, że nie przyjmuje on wartości 543 dla trzech różnych argumentów całkowitych.