Różny trening przed finałem

1. Niech k b_{}edzie liczb _{}a całkowit _{}a dodatni _{}a oraz ci _{}ag a_{n} b_{}edzie zdefiniowany warunkami:

a_{1} = k, a_{n} = k^{a_{n−1}}

dla n > 1. Pokazać, że jeśli m jest dowoln _{}a liczb _{}a całkowit _{}a dodatni _{}a, to ci _{}ag a_{n} jest od pewnego miejsca stały modulo m.

2. Pokazać, że jeśli p jest liczb _{}a pierwsz _{}a oraz n jest naturalne, to p^{2}|\binom{np}{p} − n.

3. Pokazać, że jeśli liczby dodatnie a, b, c sumuj _{}a si_{}e do 1, to jest spełniona nierówność:

\frac{1}{(1 − a)(1 − b)} + \frac{1}{(1 − b)(1 − c)} + \frac{1}{(1 − c)(1 − a)} \frac{1}{abc}

4. W przestrzeni dany jest trójk _{}at ABC oraz sfera s rozł _{}aczna z płaszczyzn _{}a ABC. Przez każdy z punktów A, B, C przeprowadzono prost _{}a styczn _{}a do sfery. Punkty styczności oznaczono odpowiednio K, L, M. Punkt P leży na sferze i spełnia warunki:

\frac{AK}{AP} = \frac{BL}{BP} = \frac{CM}{CP}

Udowodnić, że sfera opisana na czworościanie ABCP jest styczna do sfery s.

5. Ci _{}ag a_{i} określony jest wzorami:

a_{1} = 0, a_{n} = a_{⌊ \frac{n}{2} ⌋} + (−1)^{\frac{n(n+1)}{2}}

Dla każdego k całkowitego nieujemnego znaleźć liczb_{}e takich n, dla których 2^{k} n < 2^{k+1} oraz a_{n} = 0.

6. Punkty D i E leż _{}a na boku AB trójk _{}ata ABC oraz spełniaj _{}a równości:

\frac{AD}{DB} · \frac{AE}{EB} = (\frac{AC}{AB})^{2}

Pokazać, że ∠ACD = ∠BCE.

7. W Mistrzostwach Świata w Brydżu Sportowym z Dziadkiem bierze udział 211 uczestników. W każdym rozdaniu bierze udział trzech uczestników. Pokazać, że da si_{}e tak ustalić harmonogram rozgrywek, aby każdych dwóch uczestników spotkało si_{}e przy rozgrywce dokładnie raz.