Kółeczko z dziwactw  8 marca 2010

Definicja 1. Wielomian W (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) jest symetryczny wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych i, j zachodzi

W (x_{1}, x_{2}, …, x_{i−1}, x_{i}, x_{i+1}, …, x_{j−1}, x_{j}, x_{j+1}, …, x_{n}) =

= W (x_{1}, x_{2}, …, x_{i−1}, x_{j}, x_{i+1}, …, x_{j−1}, x_{i}, x_{j+1}, …, x_{n}).

Definicja 2. Niech

σ_{1} = x_{1} + x_{2} + … + x_{n},
σ_{2} = x_{1}x_{2} + x_{1}x_{3} + … + x_{n−1}x_{n},
σ_{3} = x_{1}x_{2}x_{3} + x_{1}x_{2}x_{4} + … + x_{n−2}x_{n−1}x_{n},
…
σ_{n} = x_{1}x_{2}x_{3} · . . . · x_{n}.

So to tak zwane wielomiany symetryczne podstawowe. Twierdzenie o wielomianach symetrycznych. Jeśli W (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) jest wielomianem symetrycznym, to istnieje taki wielomian S(x_{1}, x_{2}, …, x_{n}), że W (x_{1}, x_{2}, …, x_{n}) = S(σ_{1}, σ_{2}, …, σ_{n}). Wniosek. x^{3} + y^{3} + z^{3} − 3xyz = (x + y + z)(x^{2} + y^{2} + z^{2} − xy − yz − zx)

1. Liczby a, b, c spełniają równość a + b + c = 0. Udowodnij, że:

• a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc

• 2(a^{4} + b^{4} + c^{4}) = (a^{2} + b^{2} + c^{2})^{2} • \frac{a^{5}+b^{5}+c^{5}}{5} = \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2} · \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}

• \frac{a^{7}+b^{7}+c^{7}}{7} = \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2} · \frac{a^{5}+b^{5}+c^{5}}{5}

2. Rozłóż na czynniki pierwsze wielomian (x − y)^{3} + (y − z)^{3} + (z − x)^{3}.

3. Udowodnij, że

\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{(a − b)^{2} + (b − c)^{2} + (c − a)^{2}} = \frac{a + b + c}{2}.

4. Rozwiąż układ równań:

\{ \begin{matrix}x^{3} + y^{3} + z^{3} = \frac{73}{8} \\ xy + yz + zx = x + y + z \\ xyz = 1. \end{matrix}

5. Rozwiąż układ równań:

\{ \begin{matrix}x + y + z = 6 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14 \\ x^{3} + y^{3} + z^{3} = 36. \end{matrix}

6. Dla a, b, c ≥ 0 udowodnij, że \frac{a+b+c}{3} ≥ \sqrt[3]{abc}.

7. Dla x, y, z ≥ 0, x + y + z = 1 udowodnij, że x^{3} + y^{3} + z^{3} + 3xyz ≥ \frac{2}{9}.

8. Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie (x − y)^{3} + (y − z)^{3} + (z − x)^{3} = 30.

9. Która z liczb jest większa: \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} czy \sqrt[3]{24}.

10. Znajdź dzielnik liczby 2^{33} + 2^{17} + 1 większy niż 1000 a mniejszy niż 2000.