Wielomiany

1. Wielomian W (x) o współczynnikach całkowitych spełnia warunki 17|W (15),13|W (0),9|W (11). Pokazać, że 1989|W (1001).

2. Dany jest ci _{}ag X 2005 liczb całkowitych x_{1}, x_{2}, …, x_{2005} o nast_{}epuj _{}acej własności: dla dowolnego wielomianu P (x) stopnia 2 o współczynnikach całkowitych istniej _{}a trzy elementy ci _{}agu X, mianowicie k, l, m, że P (k) = P (l) = P (m). Pokazać, że w ci _{}agu X istnieje co najmniej jedna trójka równych wyrazów.

3. Dana jest liczba całkowita n 2. Znaleźć wszystkie wielomiany P o współczynnikach całkowitych, że dla dowolnego x całkowitego zachodzi P (x)^{n} = P (x^{n}).

4. Rozwi _{}azać układ równań w rzeczywistych a, b, c, d:

\{ \begin{matrix}a + b + c + d = 4 \\ ab + ac + ad + bc + bd + cd = −1 \\ abc + abd + acd + bcd = −16 \\ abcd = −12. \end{matrix}

5. Rozwi _{}azać układ równań w dodatnich a, b, c

\{ \begin{matrix}ab + bc + ac = 12 \\ a + b + c + 2 = abc. \end{matrix}

6. Pokazać, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych W dla sześciu różnych liczb całkowitych przyjmuje wartość 12, to nie ma pierwiastków całkowitych.

7. Czy istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych stopnia co najmniej 1 maj _{}acy wszystkie możliwe wartości b_{}ed _{}ace liczbami złożonymi?

8. Czy istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych stopnia co najmniej 1 maj _{}acy wszystkie możliwe wartości nie b_{}ed _{}ace liczbami złożonymi?