Zadania z wielomianów - wykład na 7WM

1. Wielomian całkowitoliczbowy W (x) spełnia 5|W (2) oraz 2|W (5). Pokazać, że 10|W (7)

2. Niech W (x) b_{}edzie wielomianem całkowitoliczbowym dla którego W (i) = 4i + 3 dla i od 1 do n, gdzie n > 1. Pokazać, że W (x) nie ma pierwiastków całkowitych.

3. Pokazać, że dla żadnego wielomianu całkowitoliczbowego W (x) nie istniej _{}a takie różne liczby całkowite a, b, c,, że b = W (a), c = W (b) oraz a = W (c).

4. Pokazać, że w zadaniu trzecim nie istnieje również żaden ci _{}ag wi_{}ecej niż trzech wyrazów, który spełnia analogiczn _{}a cykliczn _{}a zależność.

5. Niech P (x) b_{}edzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Udowodnić, że jeśli w conajmniej sześciu różnych liczbach całkowitych przyjmuje on wartość 12, to nie ma pierwiastków całkowitych.

6. Znaleźć wszystkie rozwi _{}azania układu równań w liczbach rzeczywistych:

\{ \begin{matrix}a + b + c = 0 \\ ab + bc + ac = −7 \\ abc = 6 \end{matrix}

7. Znaleźć wszystkie rozwi _{}azania układu równań w liczbach rzeczywistych:

\{ \begin{matrix}a + b + c = 5 \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} = 29 \\ a^{3} + b^{3} + c^{3} = 83 \end{matrix}

8. Niezerowe liczby rzeczywiste a, b, c, d spełniaj _{}a warunki:

\{ \begin{matrix}a + b + c + d = 0 \\ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = 0 \\ abcd = 1 \end{matrix}

Pokazać, że |ab + ac + ad + bc + bd + cd| 2.

9. Znaleźć wszystkie takie wielomiany W (x), że W (x^{2}) = (W (x))^{2} dla każdego rzeczywistego x.

10. Wyznaczyć wszystkie pary liczb całkowitych a, b, dla których istnieje taki wielomian P (x) o współczynnikach całkowitych, że iloczyn (x^{2} + ax + b) · P (x) jest wielomianem postaci:

x^{n} + c_{n−1} x^{n−1} + … + c_{1}x + c_{0}

gdzie każda z liczb c_{0}, c_{1}, …, c_{n−1} jest równa 1 lub −1.