Wektorki i inne

1. Na płaszczyźnie danych jest n wektorów. Udowodnić, że istnieje prosta taka, że suma rzutów wektorów na t _{}a prost _{}a wynosi 0.

2.W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC punkt D jest rzutem prostok _{}atnym punktu C na prost _{}a AB. Punkt E jest rzutem prostok _{}atnym punktu D na prost _{}a BC. Punkt F leży na odcinku DE, przy czym \frac{EF}{F D} = \frac{AD}{DB}. Wykazać, że proste CF i AE s _{}a prostopadłe.

3. W sześciok _{}acie wypukłym ABCDEF punkty K, L, M, N, O, P s _{}a odpowiednio środkami odcinków AC, BD, CE, DF, EA, F B. Pokazać, że pole sześciok _{}ata KLMNOP jest cztery razy mniejsze niż sześciok _{}ata ABCDEF.

4. Operacj _{}a T (ABC, k) nazywamy wzi_{}ecie trójk _{}ata ABC, umieszczenie na bokach BC, AC, AB punktów K, L, M takich, że \frac{BK}{KC} = \frac{CL}{LA} = \frac{AM}{MB} = k i wyplucie odcinków długości AK, BL, CM.

• Pokazać, że dla każdego trójk _{}ata ABC i nieujemnego k z odcinków powstałych w wyniku T (ABC, k) da si_{}e zbudować trójk _{}at.

• W trójk _{}acie wykonano najpierw T (ABC, \frac{1}{2}), nast_{}epnie złożono z powstałych odcinków trójk _{}at KLM i wykonano T (KLM, 2). Pokazać, że trójk _{}at złożony z trzech powstałych odcinków jest podobny do ABC i znaleźć skal_{}e podobieństwa.

5. W trójk _{}acie ABC umieszczono na bokach BC, AC, AB punkty K, L, M takie, że \frac{BK}{KC} = \frac{CL}{LA} = \frac{AM}{MB} = k, gdzie k > 0. Pokazać, że ortocentra trójk _{}atów KLM i ABC si_{}e pokrywaj _{}a wtedy i tylko wtedy gdy ABC jest równoboczny.

6. Na płaszczyźnie dane jest koło, które przykryto nieskończonym paskiem o szerokości jego średnicy. Nast_{}epnie pasek poci_{}eto na skończon _{}a liczb_{}e pasków o niezerowej szerokości i jeden wyrzucono. Pokazać, że teraz nie da si_{}e paskami pokryć całego koła.

7. W ostrosłupie prawidłowym o wierzchołku S i podstawie A_{1}A_{2} …A_{n} każda kraw_{}edź boczna tworzy z płaszczyzn _{}a podstawy k _{}at 60^{∘}. Dla każdej liczby naturalnej n 3 rozstrzygn _{}ać, czy można wybrać takie punkty B_{2}, B_{3} …B_{n} leż _{}ace odpowiednio na kraw_{}edziach A_{2}S, A_{3}S …A_{n}S, że

A_{1}B_{2} + B_{2}B_{3} + B_{3}B_{4} + … + B_{n}A_{1} < 2A_{1}S