Kółko z widokiem na wakacje

1. Znaleźć wszytskie pary m, n całkowitych dodatnich, że:

2! + 3! + 4! + … + n! = m^{3}

2. Pokazać, że dla każdego pierwszego p 5 istniej _{}a takie różne liczby 0 n, m < \sqrt{p}, że p − n^{2}|p − m^{2}.

3. Pokazać, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej m 4 liczba ⌊\frac{(m−1)!}{m} ⌋ jest parzysta.

4. Czy z kwadratu 7, 99 × 7, 99 da si_{}e wyci _{}ać 50 kwadratów jednostkowych?

5. Okr_{}egi o_{1} i o_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punktach P i Q. Punkty A_{1} i A_{2} naler _{}a do o_{1} a B_{1} i B_{2} naler _{}a do o_{2}, przy czym P należy do odcinków A_{1}B_{1} oraz A_{2}B_{2}. Pokazać, że k _{}at pomi_{}edzy prostymi A_{1}A_{2} i B_{1}B_{2} nie zależy od wyboru punktów A_{i} i B_{i}.

6. Dana jest sfera S, okr _{}ag o należ _{}acy do sfery i punkt P poza ni _{}a. Poprowadzono wszystkie proste pomi_{}edzy punktami z o a P, a zbiór ich drugich przeci_{}eć z S nazwano A. Pokazać, że A jest okr_{}egiem.

7. Na płaszczyźnie jest umieszczonych nieskończenie wiele modliszek. Każda z nich może si_{}e poruszać z pr_{}edkości _{}a 5 metrów na minut_{}e oraz na pocz _{}atku każde dwie oddalone s _{}a od siebie o co najmniej 2 metry. Jeśli dwie żywe modliszki spotkaj _{}a si_{}e w tym samym punkcie, to jedna może zjeść drug _{}a, zaś modliszka umiera po minucie od zjedzenia swojego ostatniego współbratymca. Pokazać, że po kwadransie wszystkie modliszki b_{}ed _{}a martwe.

8. Niech ABCD b_{}edzie ustalonym czworok _{}atem wypukłym, którego boki BC i AD s _{}a równej długości i nie s _{}a równoległe. Punkty E i F leż _{}a odpowiednio na bokach BC i AD, s _{}a różne od wierzchołków A, B, C, D oraz BE = DF. Proste AC i BD przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P, proste BD i EF przecinaj _{}a si_{}e w punkcie Q, proste EF i AC przecinaj _{}a si_{}e w punkcie R. Rozpatrujemy wszystkie trójk _{}aty P QR, dla zmieniaj _{}acych położenie punktów E i F. Dowieść, że okr_{}egi opisane na tych trójk _{}atach maj _{}a punkt wspólny, różny od punktu P.