Trudniejsze

Termin: 3.12.2009

1. Na bokach AC i BC trójk _{}ata ostrok _{}atnego ABC wybrano odpowiednio takie punkty D i E, że AB = AD = BE. Czworok _{}at ABGD jest rombem, a punkt F – odbiciem punktu E względem G. Dwusieczna k _{}ata CAB przecina bok BC w punkcie X, a dwusieczna k _{}ata CBA przecina bok AC w punkcie Y. Wykazać, że prosta XY jest równoległa do prostej DG.

2. Udowodnić nierówność między średnimi potęgowymi, to znaczy pokazać, że dla dowolnych dodatnich liczb naturalnych p > q i dowolnych n nieujemnych liczb rzeczywistych x_{1}, x_{2}, …, x_{n} zachodzi nierówność:

\sqrt[p]{\frac{x_{1}^{p} + x_{2}^{p} + … + x_{n}^{p}}{n}} ⩾ \sqrt[q]{\frac{x_{1}^{q} + x_{2}^{q} + … + x_{n}^{q}}{n}} .

3. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC punkt D jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka A, a punkt M – środkiem boku AB. E i F to takie punkty na odcinku AB, że ∠ACE = ∠BCF. Punkty G i H to rzuty odpowiednio punktu A na prost _{}a CE i punktu B na prost _{}a CF. Wykazać, że punkty D, M, G, H leż _{}a na jednym okręgu.