Troch_{}e teorii liczb i jeszcze Czechy

1. Niech τ(n) oznacza liczb_{}e dodatnich dzielników n. Pokazać, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi:

τ(n^{3}) (τ(n))^{2}

Kiedy zachodzi równość?

2. Niech τ(n) oznacza liczb_{}e dodatnich dzielników n zaś σ(n) sum_{}e tych dzielników. Pokazać, że dla każdej liczby całkowitej dodatniej n zachodzi:

\frac{σ(n)}{τ(n)} \sqrt{n}

3. Pokazać, że dla wzgl_{}ednie pierwszych p, q najwi_{}eksz _{}a liczb _{}a naturaln _{}a, któr_{}ej nie da si_{}e przedstawić w postaci kp + lq gdzie k, l s _{}a naturalne, jest pq − p − q.

4. Ile jest liczb naturalnych których nie da si_{}e przedstawić w postaci z zadania 3?

5. Pokazać, że dla liczb dodatnich x, y, z sumuj _{}acych si_{}e do 1 zachodzi nierówność:

\frac{1}{x + yz} + \frac{1}{y + zx} + \frac{1}{z + xy} 16(\frac{1}{(3 − x)^{2}} + \frac{1}{(3 − y)^{2}} + \frac{1}{(3 − z)^{2}} )

6. W czworościan ABCD wpisano sfer_{}e. Cztery płaszczyzny styczne do tej sfery i równoległe do odpowiednich boków czworościanu odcinaj _{}a z niego cztery mniejsze czworościany. Pokazać, że suma długości wszyskich 24 kraw_{}edzi tych czworościanów jest równa podwojonej sumie długości kraw_{}edzi czworościanu ABCD.

7. Punkt L leży na krótszym łuku CD okr_{}egu opisanego na kwadracie ABCD. Prosta AL przecina prost _{}a CD w punkcie K, prosta CL przecina prost _{}a AD w M zaś prosta KM przecina prost _{}a BC w N. Pokazać, że punkty B, N, M, L leż _{}a na jednym okr_{}egu.