Trygonometria

1. Niech dla każdego n zachodzi f(n) = n sinn^{∘}. Pokazać, że zachodzi:

f(2) + f(4) + ⋯+ f(180) = 90 ctg1^{∘}

2. Ci _{}ag a_{i} określony jest nast_{}epuj _{}aco: a_{0} = x oraz a_{k} = \frac{2a_{k−1}}{1−a_{k−1}^{2}} zaś, kończymy go, gdy pojawi si_{}e wyraz o module równym 1. Znaleźć wszystkie x dla których ci _{}ag jest skończony.

3. Ci _{}agi a_{i} oraz b_{i} określone s _{}a warunkami: a_{0} = x, b_{0} = y, gdzie x^{2} + y^{2} < 4, a_{k} = a_{k−1} b_{k−1} oraz b_{k} = \frac{b_{k−1}^{2} −a_{k−1}^{2}}{2} dla k ∈ ℤ^{+} . Pokazać, że dla dowolnego ϵ > 0 istnieje takie n, by a_{n} < ϵ i b_{n} < ϵ.

4. Pokazać, że dla dowolnego x rzeczywistego i n całkowitego dodatniego zachodzi:

cos(x) + cos(x + \frac{π}{n}) + cos(x + \frac{2π}{n}) + ⋯+ cos(x + \frac{(2n − 1)π}{n} ) = 0

5. Dana jest liczba n ∈ ℤ^{+} . Znaleźć wszystkie takie x, by:

cos(x) + cos(2x) + ⋯+ cos(nx) = 0

6. Znaleźć maksymaln _{}a możliw _{}a wartość wyrażenia x\sqrt{1 − y^{2}} + y\sqrt{1 − x^{2}} dla x, y ∈ [−1, 1].

7. Pokazać, że dla a, b rzeczywistych dodatnich, takich, że a b zachodzi:

\sqrt{a^{2} − b^{2}} + \sqrt{2ab − b^{2}} a