Trudniejsze

Termin: 07.01.2010

1. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC punkt D jest spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka A, a punkt M – środkiem boku BC. E i F to takie punkty na odcinku BC, że ∠BAE = ∠CAF. Punkty G i H to rzuty odpowiednio punktu B na prost _{}a AE i punktu C na prost _{}a AF. Wykazać, że punkty D, M, G, H leż _{}a na jednym okręgu.

2. Punkty A, B, C, D, E i F leż _{}a w tej kolejności na okręgu. Niech P = AC ∩ F B, Q = BD ∩ AC, R = CE ∩ BD, S = DF ∩ CE, T = EA ∩ DF i U = F B ∩ EA. Wykazać, że proste P S, QT i RU przecinaj _{}a się w jednym punkcie.

3. Niech x_{1}, x_{2}, …, x_{n} będ _{}a ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Wykazać, że zachodzi nierówność:

\frac{x_{1}}{1 + x_{1}^{2}} + \frac{x_{2}}{1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} + … + \frac{x_{n}}{1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + … + x_{n}^{2}} < \sqrt{n}.