Zadania troszeczk_{}e trudniejsze od pozostałych

VII Warsztaty Matematyczne

1. Pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi 4n\{n\sqrt{2}\} > \sqrt{2}, zaś \sqrt{2} jest najlepszym oszacowaniem prawej strony.

2. Znaleźć wszystkie funkcje f : ℝ −→ ℝ takie, że:

f(xf(x) + f(y)) = (f(x))^{2} + y

3. Rozsztrzygn _{}ać, czy istnieje taki zbiór A ⊂ {1, 2, 3, …, 2^{1996} − 1}, o mocy 2012, że:

• 1 ∈ A

• 2^{1996} − 1 ∈ A

• każdy element A różny od 1 jest sum _{}a dwóch, niekoniecznie różnych elementów A

4. Leż _{}acy wewn _{}atrz równoległoboku ABCD punkt K spełnia własności: środek boku AD jest równoodległy od punktów C i od K oraz środek boku CD jest równoodległy od punktów A i od K. Pokazać, że jeśli punkt N jest środkiem odcinka BK, to ∠NAK = ∠NCK.

5. Niech ABCD b_{}edzie prostok _{}atem o bokach m i n złożonym z mn kwadracików jednostkowych, gdzie m i n s _{}a dwoma wzgl_{}ednie pierwszymi liczbami nieparzystymi. Przek _{}atna AC przecina kwadraciki kolejno punktach A_{1}, A_{2}, …, A_{k}, gdzie A_{1} = A, A_{k} = C i punkty te leż _{}a właśnie w tej kolejności na prostej AC. Pokazać, że:

A_{1}A_{2} − A_{2}A_{3} + A_{3}A_{4} − … + (−1)^{k}A_{k−1} A_{k} = \frac{\sqrt{m^{2} + n^{2}}}{mn}

.

6. W lesie, w którym drzewa rosn _{}a w punktach kratowych płaszczyzny jest ustawiona ci_{}eżarówka maj _{}aca kształt odcinka długości 10. Ci_{}eżarówk_{}e wolno dowolnie przesuwać i obracać, nie może ona jednak zahaczyć o żadne drzewo w żadnym momencie ruchu. Pokazać, że ci_{}eżarówk_{}e da si_{}e odwrócić (czyli postawić na tym samym miejscu odwrócon _{}a).

7. W pi_{}eciok _{}acie wypukłym ABCDE punkty M, N, P, Q, S s _{}a odpowiednio środkami boków AB, BC, CD, DE, EA. Pokazać, że jeśli proste DM,EN,AP,BQ maj _{}a punkt wspólny, to należy on również do odcinka CS.

8. Liczby rzeczywiste dodatnie x_{1}, x_{2}, …, x_{n} spełniaj _{}a warunek

∑_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i} + 2006} = \frac{1}{2006}

Pokazać, że zachodzi:

\sqrt[n]{x_{1}x_{2} …x_{n}} 2006(n − 1)

9. Ci _{}ag a_{i} jest ci _{}agiem liczb całkowitych dodatnich, zaś ci _{}ag b_{i} jest ci _{}agiem liczb powstaj _{}acych przez odwrócenie zapisu dziesi_{}etnego wyrazów ci _{}agu a_{i} (obcinaj _{}ac wiod _{}ace zera). Ponadto wiadomo, że dla każdego i ∈ ℤ^{+} zachodzi a_{i+1} = a_{i} + b_{i}. Rozstrzygn _{}ać, czy a_{7} może być liczb _{}a pierwsz _{}a.

10. Onufry i Joasia graj _{}a w gr_{}e. Naprzemian pisz _{}a na tablicy wybran _{}a przez siebie liczb_{}e z przedziału od 1 do n. Ten, który napisz_{}e liczb_{}e b_{}ed _{}ac _{}a dzielnikiem liczby już napisanej przegrywa. Gr_{}e zaczyna Joasia. Dla jakich n Joasia ma strategi_{}e wygrywaj _{}ac _{}a, tzn. może niezależnie od ruchów Onufrego tak grać, aby wygrać?