Zadania trudniejsze dla odmiany

1. Rozwi _{}azać układ równań w liczbach nieujemnych:

\{ \begin{matrix}1 + x_{1} = x_{2}^{2} \\ 1 + x_{2} = x_{3}^{2} \\ … \\ 1 + x_{1995} = x_{1996}^{2} \\ 1 + x_{1996} = x_{1}^{2} \end{matrix}

2. Pokazać, że dla każdego n całkowitego dodatniego zachodzi:

1\sqrt{\binom{n}{1}} + 2\sqrt{\binom{n}{2}} + … + n\sqrt{\binom{n}{n}} \sqrt{2^{n−1} n^{3}}

3. Niech a, b, c, d b_{}ed _{}a takimi liczbami nieujemnymi, że ab + bc + cd + da = 1. Pokazać, że zachodzi:

\frac{a^{3}}{b + c + d} + \frac{b^{3}}{c + d + a} + \frac{c^{3}}{d + a + b} + \frac{d^{3}}{a + b + c} \frac{1}{3}

.

4. W czworok _{}acie ABCD wpisywalnym w okr _{}ag i opisywalnym na okr_{}egu, punkt S jest środkiem okr_{}egu wpisanego. Prosta przechodz _{}aca przez S i równoległa do AB przecina proste AD i BC odpowiednio w punktach K i L, zaś prosta przechodz _{}aca przez S i równoległa do BC przecina proste AB i CD odpowiednio w punktach P i Q. Pokazać, że KL = P Q.

5. W trójk _{}acie ABC punkt I to środek okr_{}egu wpisanego, a S to sżodek okr_{}egu dopisanego, stycznego do boku BC. Pokazać, że środek odcinka SI leży na okr_{}egu opisanym na trójk _{}acie ABC.

6. Dany jest ustalony okr _{}ag γ o środku w S i ustalona prosta l. Punkt M jest rzutem S na l. Punkt P jest zmiennym punktem na okr_{}egu γ, okr _{}ag o średnicy P M przecina γ ponownie w X i l ponownie w Y. Pokazać, że dla dowolnego wyboru P proste XY przechodz _{}a przez ustalony punkt.