Różne triki

DEF A = ℤ^{+} ∪ {0}

1. Funkcja f(x) : A −→ A spełnia warunki: f(0) = 0, f(2n) = f(n), f(2n + 1) = f(n) + 1 dla każdego n ∈ A. Znaleźć dla każdego m ∈ A liczb_{}e rozwi _{}azań równania f(x) = m wśród liczb ze zbioru A mniejszych od 4^{m}.

2. Funkcja f(x) : A −→ A spełnia warunki: f(0) = 0, f(2n) = 3f(n), f(2n+1) = f(2n)+1 dla każdego n ∈ A. Jakie liczby stanowi _{}a zbiór wartości f?

3. Funkcja f(x) : ℤ^{+} −→ ℤ^{+} spełnia warunki: f(1) = 1, f(3) = 3, f(2n) = f(n), f(4n+1) = 2f(2n+1)−f(n), f(4n+3) = 3f(2n+1)−2f(n) dla każdego n ∈ ℤ^{+} . Znaleźć liczb_{}e rozwi _{}azań równania f(n) = n w 0 < n 1988.

4. Każdej parze liczb całkowitych nieujemnych (x, y) jest przyporz _{}adkowana liczba f(x, y) zgodnie z warunkami: f(0, 0) = 0, f(2x, 2y) = f(2x + 1, 2y + 1) = f(x, y), f(2x + 1, 2y) = f(2x, 2y + 1) = f(x, y) + 1 dla x, y 0. Niech n b_{}edzie ustalon _{}a liczb _{}a całkowit _{}a nieujemn _{}a i niech a, b b_{}ed _{}a takimi liczbami całkowitymi nieujemnymi, że f(a, b) = n. Rozstrzygn _{}ać, ile jest liczb x spełniaj _{}acych równanie f(a, x) + f(b, x) = n.

5. Pokazać, że pole trójk _{}ata o wierzchołkach w punktach kratowych jest nie mniejsze niż \frac{1}{2}.

6. Pokazać, że nie istnieje trójk _{}at równoboczny o wierzchołkach w punktach kratowych.

7. Pokazać, że jesłi dla pewnego a ∈ ℝ − \{0\} liczba a + \frac{1}{a} jest całkowita, to dla dowolnego n ∈ ℤ^{+} liczba a^{n} + \frac{1}{a^{n}} też jest całkowita.