.......................................................................  ...........  ................................
imie i nazwisko  klasa  nr telefonu

Test kwalifikacyjny na VII Warsztaty Matematyczne

Klasa druga i trzecia

Na pytania odpowiada si_{}e �tak” lub �nie” poprzez wpisanie odpowiednio �T” b _{}adź �N” w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja odpowiedzi �tak” i �nie”. W zestawach zaznaczonych gwiazdk _{}a (gwiazdka wygl _{}ada tak: * ) prócz udzielenia odpowiedzi należy je uzasadnic.

Zasady punktacji:

Za pojedyncz _{}a poprawn _{}a odpowiedź: 1 punkt.

Za pojedyncz _{}a niepoprawn _{}a odpowiedź: –1 punkt.

Za brak odpowiedzi: 0 punktów.

Za wszystkie poprawne odpowiedzi w jednym trzypytaniowym zestawie dodatkowe 2 punkty.

Za poprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi: 1 punkt.

Za niepoprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi badź brak takowego: 0 punktów.

Powodzenia!

1. Jeśli a i b s _{}a liczbami całkowitymi dodatnimi, to liczba \frac{ab}{a+b} może być:

mniejsza od 1.

każd _{}a liczb _{}a całkowit _{}a dodatni _{}a.

wi_{}eksza niż 2006^{2006}.

2. Zbiór A jest zbiorem punktów płaszczyzny o co najmniej jednej współrz_{}ednej niewymiernej.

Istnieje prosta należ _{}aca do zbioru A. Istnieje okr _{}ag należ _{}acy do zbioru A. Każde dwa punkty ze zbioru A da si_{}e poł _{}aczyć łaman _{}a zawart _{}a w zbiorze A.

3. W grzybobraniu wzi_{}eła udział cała rodzina. Marek znalazł tyle samo prawdziwków, co jego syn, a Tomasz znalazł 3 razy wi_{}ecej prawdziwków niż jego syn. Beata, żona Tomasza, i żona Marka Agnieszka znalazły w sumie 2 razy wi_{}ecej prawdziwków niż syn Marka. Jeśli cała rodzina została już wymieniona i zebrała w sumie 77 prawdziwków, to:

Marek uzbierał 11 grzybów. Marek jest synem Tomasza. Tomasz jest synem Marka.

4*. Ustawiamy skoczka szachowego na dowolnym polu szachownicy n × n i próbujemy wykonuj _{}ac nim standardowe ruchy odwiedzić każde pole szachownicy dokładnie raz i wrócić na pole pocz _{}atkowe. Da si_{}e to zrobić dla:

n = 3 n = 4 n = 7

5. Czy prawdziwe s _{}a nast_{}epuj _{}ace nierówności?

22^{55} > 55^{22} 2006 · 200720072007 > 2007 · 200620062006 \sqrt{2005}+ \sqrt{2007} > 2\sqrt{2006}

6. (2 + \sqrt{3})^{n} = a_{n} + b_{n} \sqrt{3}, gdzie a_{n} i b_{n} s _{}a całkowite. Wynika z tego, że:

a_{n+1} − a_{n} = b_{n+1} + b_{n} NW D(a_{n}, b_{n}) = 3 dla pewnego n. 6|b_{666}.

7. W kwadracie 5×5 umieściliśmy 26 punktów. Czy możliwe, aby najmniejsza odległośc mi_{}edzy dwoma z nich była równa:

1 \sqrt{2} \frac{3}{2}

8. Kraw_{}edzie sześcianu ponumerowano dwunastoma różnymi liczbami ze zbioru od 1 do 13 tak, by suma numerów kraw_{}edzi wychodz _{}acych z każdego wierzchołka była równa. Czy ta suma może być równa:

19. 21. 23.

9. Liczby p i 8p^{2} + 1 s _{}a pierwsze. Wynika st _{}ad, że:

liczba p^{3} + 2 może być złożona. nie ma takiej liczby p. 5|p^{2006} + 1.

10*. Przek _{}atne czworok _{}ata maj _{}a długości 5 i 12. Wówczas:

jego pole może wynosić 29. zawsze można go zmieścić w okr_{}egu o promieniu 6\frac{1}{3}. może być on trapezem.

11. W ksi_{}estwie Hofmańskim ksi _{}aże założył miasta A, B, C, D, E. Wielki mierniczy zmierzył odległości i uzyskał wyniki: odległość mi_{}edzy A i B wynosi 36 kilometrów, mi_{}edzy A i D 131 kilometrów, mi_{}edzy B i C 64 kilometry, mi_{}edzy C i E 80 kilometrów, mi_{}edzy A i E 60 kilometrów zaś mi_{}edzy C i D 31 kilometrów. Wówczas:

Odległość mi_{}edzy B i E wynosi 48 kilometrów k _{}at BCE jest prosty. k _{}at EBD jest prosty.

12*. W pewnej grze dwaj gracze naprzemian kład _{}a kostki domina (2×1) na pola planszy. Przegrywa ten, który nie może wykonać ruchu. Strategi_{}e wygrywaj _{}aca ma pierwszy gracz, jeśli plansza ma kształt:

szachownicy 8 × 8 z wyci_{}etymi przeciwległymi rogami. szachownicy 7 × 8. szachownicy 7 × 7 z wyci_{}etym środkowym polem.

13. Dla każdego n > 2 istnieje n-k _{}at maj _{}acy:

n osi symetrii. n + 1 osi symetrii, jeśli n parzyste. maj _{}acy dwa różne środki symetrii, jeśli n jest nieparzyste.

14*. W ci _{}agu arytmetycznym postaci an + b, gdzie n = 0, 1, 2, …, zaś a, b s _{}a całkowite dodatnie:

musi istnieć pot_{}ega liczby naturalnej o wykładniku wi_{}ekszym od 1. musi istnieć pot_{}ega liczby naturalnej jeśli a ⊥ b. musi istnieć liczba pierwsza.

15. Funkcja f jest parzysta a g nieparzysta. Wówczas:

f(g(f(g(f(g(x)))))) jest parzysta. g(f(g(f(g(f(x)))))) jest nieparzysta. g(g(g(f(x^{2})))) jest nieparzysta.

16. Czy:

rzut czworościanu może być kwadratem? wśród 5 punktów na sferze istniej _{}a conajmniej 4 na jednej półsferze (z brzegiem)? przekrój sześcianu może być siedmiok _{}atem?

17. W trójk _{}acie ABC boki AB i AC maj _{}a długości 2 i 3. Czy środkowa spuszczona z wierzchołka A może mieć długość:

\frac{\sqrt{2}}{3}? \sqrt{2}?

2\sqrt{2}?

18. Jeśli liczba n > 1 jest nieparzysta, to liczba n^{6} − n^{4} − n^{2} + 1 w rozkładzie na czynniki pierwsze:

ma zawsze conajmniej 7 dwójek. ma zawsze dokładnie 7 dwójek. może mieć dokładnie 8 dwójek.

19*. Na szachownicy 8 × 8 można ustawić w pozycjach niebij _{}acych:

15 gońców. 8 wież. 33 pionki jednego koloru.

20. Nadbor chce ustawić w rz _{}adku 666 swoich gumowych lalek, z czego 222 to misie a 444 to ptysie. Może to zrobić:

na \binom{666}{111} sposobów.

tak, aby w 60 miejscach miś stał bezpośrednio za ptysiem.

tak, aby bezpośrednio za każdym misiem stał ptyś.

21. Romek, Andrzej i Jarek bawi _{}a si_{}e w piaskownicy zabawkami. Gdyby Romek zabrał Andrzejowi połow_{}e jego zabawek, to miałby ich dwa razy mniej niż Jarek. Gdyby Andrzej zabrał wszystkie zabawki Romkowi, to miałby ich o 10 mniej niż Jarek. A gdyby zgodnie ze swoim planem Jarek zabrał wszystkie zabawki z piaskownicy, to miałby ich w sumie 110.

Romek ma mniej niż 15 zabawek.

Jarek i Romek maj _{}a ponad dwa razy wi_{}ecej zabawek niż Andrzej. Jarek ma ponad połow_{}e zabawek z piaskownicy

22. Trójk _{}at o polu 1 ma boki o długościach a, b, c, przy czym a b c. Czy b może być równe:

\frac{2π−1}{4}

\frac{π^{2}}{6}

541

23*. Wśrod liczb 1^{1}, 2^{2}, 3^{3}, 4^{4}, … jest nieskończenie wiele liczb:

maj _{}acych nieparzyst _{}a liczb_{}e cyfr z zapisie dziesi_{}etnym.

rozpoczynaj _{}acych si_{}e cyfr _{}a nieparzyst _{}a.

kończ _{}acych si_{}e dwoma cyfr _{}ami nieparzystymi.

24. Maciuś napisał bardzo duż _{}a liczb_{}e całkowit _{}a n i przemnożył j _{}a przez 5 uzyskuj _{}ac wynik składaj _{}acy si_{}e z 60 cyfr, przy czym jest to 40 pi _{}atek i 20 siódemek. Jeśli S(x) jest sum _{}a cyfr liczby x, to

S(S(S(n))) = 7.

S(n) = 130.
S(n) = 140.

25. Istnieje taki wielomian W (n) stopnia 2006, że:

W (1) = W (2) = W (3) = … = W (2006) = 1, W (2007) = 2007. W (1) = W (2) = W (3) = … = W (2005) = 1, W (2006) = 2, W (2007) = 2007. W (i) = i dla i od 1 do 2007.

26. Liczba 11 · 13^{2} · 15^{3} · 17^{4} · 19^{5} ma:

720 dzielników. 6! dzielników. ponad 2006 dzielników.

27. Onufry i Joasia graj _{}a w nast_{}epuj _{}ac _{}a gr_{}e: rzucaj _{}a symetryczn _{}a monet _{}a aż uzyskaj _{}a ci _{}ag ORR lub OOR (O-orzeł, R-reszka). W przypadku pierwszego wygrywa Onufry, w przypadku drugiego - Joasia.

Joasia ma wi_{}eksz _{}a szans_{}e na wygran _{}a. Joasia zawsze wygra. Joasia wygra z prawdopodobieństwem \frac{2}{3}.

28*. Czy długości boków trójk _{}ata prostok _{}atnego mog _{}a być wszystkie liczbami pierwszymi. kolejnymi wyrazami ci _{}agu geometrycznego. liczbami całkowitymi oraz kolejnymi wyrazami ci _{}agu arytmetycznego, przy czym

najkrótszy bok ma długość niepodzieln _{}a przez 3.

29. Ci _{}ag a_{i} spełnia zależność a_{i} = 4i+1. Czy wielomian o współczynnikach całkowitych, taki, że W (i) = a_{i} dla i od 1 do n:

ma zawsze 3 pierwiastki całkowite? ma conajmniej jeden pierwiastek całkowity? nie ma pierwiastków całkowitych dla n pierwszych?

30. W bandzie zbójników lorda Saicama niektórzy zbójnicy machaj _{}a mieczem, niektórzy toporem a niektórzy nauczaj _{}a j_{}ezyka polskiego (przy czym mog _{}a robić po kilka rzeczy naraz). W sumie w bandzie jest 227 zbójników. Machaj _{}ac mieczem nie uczy si_{}e polskiego. Pewn _{}a broń w r_{}eku dzierży 127 zbójników. 67 ma topór i nie ma miecza. W sumie machaj _{}acych mieczem i ucz _{}acych polskiego jest 160 zbójników.

polonistów machaj _{}acych toporem i mieczem jest ponad 11. co najwyżej 4! polonistów macha toporem. możliwe, że 27 zbójników macha i mieczem i toporem.