Ci _{}agi, teoria liczb i inne

1. Pokazać, Że jeśli liczby a, b, c s _{}a wymierne, to liczba

\frac{1}{(a − b)^{2}} + \frac{1}{(b − c)^{2}} + \frac{1}{(c − a)^{2}}

jest kwadratem liczby wymiernej.

2. Pokazać, że liczba 2^{p} + 3^{p} nie może być pot_{}eg _{}a żadnej liczby naturalnej o wykładniku wi_{}ekszym lub równym 2 gdy p jest pierwsze.

3. Liczb _{}a Grabowskiego nazywamy liczb_{}e składaj _{}ac _{}a si_{}e z samych jedynek. Pokazać, że dla każdego n⊥10 istnieje liczba Grabowskiego podzielna przez n.

4. Pokazać, że dla x, y, z naturalnych zachodzi:

NW W (x, y) · NW W (x, z) · NW W (y, z) (NW W (x, y, z))^{2}

5. Pokazać, że dla każdego naturalnego n istnieje wyraz ci _{}agu Fibonacciego podzielny przez n.

6. Niech n i m b_{}ed _{}a liczbami naturalnymi. Pokazać, że jeśli n|m to f_{n}|f_{m}, gdzie f_{i} to i-ty wyraz ci _{}agu Fibonacciego.

7. Joasia bawi si_{}e w sumowanki: najpierw pisze jak _{}aś duż _{}a liczb_{}e, nast_{}epnie obok jej sum_{}e cyfr, obok sumy cyfr sum_{}e cyfr sumy cyfr itd. aż dojdzie do liczby jednocyfrowej. Dziś Joasia napisała 2005^{2005}. Jak _{}a liczb_{}e jednocyfrow _{}a otrzymała na koniec?

8. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n istnieje taka liczba naturalna k, że suma:

n + (n + 1) + … + (n + k − 1)

jest kwadratem liczby naturalnej.