Teoria liczb - najstarsi

0. Znaleźć wszystkie rozwi _{}azania w liczbach całkowitych równania y^{3} = x^{2} − 1.

1. Znaleźć wszystkie rozwi _{}azania w liczbach całkowitych równania y^{3} = x^{2} + 1.

2. Znaleźć wszystkie rozwi _{}azania w liczbach całkowitych równania y^{3} = x^{2} + 2.

3. Pokazać, że równanie x^{2} + y^{2} = 3xy − 1 ma nieskończenie wiele rozwi _{}azań w liczbach całkowitych x, y.

4. Pokazać, że istnieje nieskończenie wiele trójk _{}atów o wszystkich bokach długości całkowitej, jednym k _{}acie miary 120^{∘} i bokach obok tego k _{}ata różni _{}acych si_{}e długości _{}a o 1.

5. Znaleźć najmniejsz _{}a liczb_{}e nieparzyst _{}a n tak _{}a, że istnieje kwadrat liczby naturalnej b_{}ed _{}acy zarazem sum _{}a n kwadratów kolejnych liczb naturalnych.

6. Niech σ(a) b_{}edzie najmniejsz _{}a tak _{}a liczb _{}a dodatni _{}a tak _{}a, że a^{σ}(a) ≡ 1(modp) dla p pierwszego, nieparzystego, nie dziel _{}acego a (a ∈ {1, …, (p − 1)}). Dla każdego k znaleźć liczb_{}e takich a, że σ(a) = k.

7. Znaleźć liczb_{}e takich x ∈ {1, 2, …, 2500} takich, że 2501|x^{11} − 2.