.......................................................................  ...........  ................................
imie i nazwisko  klasa  nr telefonu

Test kwalifikacyjny na VI Warsztaty Matematyczne

Klasa druga i trzecia

Na pytania odpowiada si_{}e �tak” lub �nie” poprzez wpisanie odpowiednio �T” b _{}adź �N” w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja odpowiedzi �tak” i �nie”. W zestawach zaznaczonych gwiazdk _{}a (gwiazdka wygl _{}ada tak: * ) prócz udzielenia odpowiedzi należy je uzasadnic.

Zasady punktacji:

Za pojedyncz _{}a poprawn _{}a odpowiedź: 1 punkt.

Za pojedyncz _{}a niepoprawn _{}a odpowiedź: –1 punkt.

Za brak odpowiedzi: 0 punktów.

Za wszystkie poprawne odpowiedzi w jednym trzypytaniowym zestawie dodatkowe 2 punkty.

Za poprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi: 1 punkt.

Za niepoprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi badź brak takowego: 0 punktów.

Powodzenia!

1. Ustawiamy w rz _{}adku 9 dziewczynek i 4 chłopców, tak aby żadnych dwóch chłopców nie stało obok siebie. Można tego dokonać na

\frac{10!·9!}{6!} sposobów. 9! · 5040 sposobów. 4! · 2^{13} sposobów.

2. W pi_{}eciok _{}acie foremnym ABCDE:

miara k _{}ata BAC jest wi_{}eksza od miary k _{}ata CAD. miara k _{}ata BAC jest mniejsza od miary k _{}ata CAD. pole trójk _{}ata BAC jest wi_{}eksze od pola trójk _{}ata CAD.

3. Liczba 2^{3} · 3^{2} · 4^{5} · 5^{4} · 6^{7} · 7^{6} ma dokładnie 6 dzielników pierwszych. 4320 dzielników. 2280 dzielników złożonych.

4*. W trójkacie prostok _{}atnym ABC k _{}at przy wierzchołku C jest prosty, zaś |AC| = 4 i |BC| = 3. Niech M b_{}edzie środkiem boku AB, a D przeci_{}eciem dwusiecznej k _{}ata C z prost _{}a AB. Wówczas:

|CM| > |CD|. |CD| = \frac{12}{7} \sqrt{2} Punkty A, M, D, B leż _{}a, w tej właśnie kolejności, na prostej AB.

5. Onufry i Joasia maj _{}a po symetrycznej monecie. Onufry rzuca ni _{}a 2004 razy, a Joasia 2005 razy. Szansa, że

Onufry wyrzuci wi_{}ecej orłów niż reszek jest mniejsza niż 50%. Joasia wyrzuci wi_{}ecej orłów niż reszek jest mniejsza niż 50%. Onufry wyrzuci nie wi_{}ecej niż 501 orłów jest mniejsza niż 25%.

6. Niech n b_{}edzie dowoln _{}a liczb _{}a całkowit _{}a dodatni _{}a. Rozważmy wielomian W (x) = (x^{2} − 2x − 1)^{n}.

Suma współczynników wielomianu W jest zawsze nieujemna. Dla n > 1 suma współczynników przy parzystych pot_{}egach wielomianu W jest

podzielna przez 8.

Suma współczynników przy nieparzystych pot_{}egach wielomianu zawsze jest ujemna.

7. Na płaszczyźnie dany jest trójk _{}at ABC. Zbiór punktów P takich, że pola trójk _{}atów P AB, P BC, P CA s _{}a równe

może być pusty. ma zawsze dokładnie 1 element. ma co najmniej 3 elementy.

8. Wojtek wypisuje ci _{}agi złożone z cyfr 1, 2, 3 i 4 takie, że żadna uporz _{}adkowana para s _{}asiednich cyfr nie powtarza si_{}e. Wojtek może w ten sposób wypisać ci _{}ag o długości:

16. 17. 18.

9. Rycerz walczy ze smokiem 2005^{2004} głowach. Jednym ci_{}eciem miecza może mu obci _{}ać 14028 głów (wtedy żadna nie odrasta), 22 głowy (przy czym wtedy jedna odrasta) lub 9 głów (i odrasta 37). Rycerz może sprawić, że potworowi zostanie dokładnie

zero głów jedna głowa. dwie głowy.

10*. Na płaszczyźnie dane s _{}a proste k,l,m, parami nierównoległe oraz punkt P leż _{}acy poza nimi. Niech P_{k},P_{l},P_{m} b_{}ed _{}a odpowiednio odbicami punktu P wzgl_{}edem prostych k,l,m.

Jeśli punkty P,P_{k},P_{l},P_{m} leż _{}a na jednym okr_{}egu, to proste k,l,m przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

Jeśli proste k,l,m przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie, to punkty P,P_{k},P_{l},P_{m} leż _{}a na jednym okr_{}egu.

Punkty P_{k},P_{l},P_{m} nie mog _{}a leżeć na jednej prostej.

11. Ułamek \frac{21n+55}{34n+89}

dla pewnego n całkowitego może być skrócony przez 2005. dla pewnego n całkowitego może być skrócony przez 7. zawsze jest nieskracalny.

12*. Dane s _{}a dwa ci _{}agi arytmetyczne: 2, 9, 16, … i 8, 13, 18, . . .. Wówczas: istnieje skończenie wiele liczb naturalnych wyst_{}epuj _{}acych jednocześnie w obu ci _{}agach. liczba 5^{2007} + 3 wyst_{}epuje jednocześnie w obu ci _{}agach. liczba 3^{809} + 11 wyst_{}epuje jednocześnie w obu ci _{}agach.

13. Dana jest liczba rzeczywista dodatnia a. Czy wartość wyrażenia a(a^{2} + 3) + \frac{1}{a}(\frac{1}{a^{2}} + 3) − 1 jest zawsze:

2π 7 > 7.

14*. Najkrótsz _{}a wysokości _{}a danego, niezdegenerowanego, trójk _{}ata jest h. Wówczas żaden bok nie jest krótszy niż h. któryś bok może być równy h. najkrótsza środkowa jest nie mniejsza niż h.

15. Funkcja f : ℝ → ℝ jest parzysta, a funkcja g : ℝ → ℝ - nieparzysta i okresowa. Funkcja f(g(x)) jest nieparzysta. Funkcja g(f(x)) jest parzysta. Istnieje takie a ∈ ℝ, że g(x + a) jest parzysta.

16. Sfera może mieć z kraw_{}edziami sześcianu dokładnie:

13 punktów wspólnych. 25 punktów wspólnych. 7 punktów wspólnych.

17. Joasia ma now _{}a ulubion _{}a gr_{}e! Teraz uwielbia grać z Onufrym w kulki, a jako że wyćwiczyła t_{}e umiej_{}etność do perfekcji, ogrywa go za każdym razem, wi_{}ec ma wi_{}ecej kulek od niego. Niestety, Onufry zapomniał ile ma kulek, wi_{}ec zwrócił si_{}e do Joasi o pomoc. Ona zaś, pami_{}etaj _{}ac, że liczba kulek Onufrego dzieli si_{}e przez 7, przy dzieleniu przez 11 daje reszt_{}e 2 zaś przy dzieleniu przez 13 reszt_{}e 5, oraz znaj _{}ac swoj _{}a liczb_{}e kulek, potrafiła podać dwie możliwe liczby kulek Onufrego. Joasia może mieć

1410 kulek. 2005 kulek. 2345 kulek.

18. W trójk _{}at ABC wpisano okr _{}ag styczny do boków BC,AC,AB w punktach D,E,F. Nast_{}epnie w trójk _{}at DEF wpisano okr _{}ag styczny do boków EF,DF,DE odpowiednio w punktach G, H, I. Wówczas:

trójk _{}aty ABC i GHI s _{}a podobne. znaj _{}ac miar_{}e k _{}ata BAC można wyliczyć miar_{}e k _{}ata HGI. stosunek pól trójk _{}atów ABC i GHI jest równy 16.

19*. Dany jest wielomian W (x) = (x^{2} + x^{3})^{23}. Współczynnik przy x^{54} jest: podzielny przez 7. podzielny przez 9. wi_{}ekszy od 2^{11}.

20. Liczba 2006^{2004} − 4321^{234} jest podzielna przez:

5. 7. 9.

21. Każdy z grupy stu uczniów Staszica rzuca sześcienn _{}a kostk _{}a. Prawdopodobieństwo tego, że pewnych dziesi_{}eciu z nich uzyska ten sam wynik, wynosi:

\frac{100}{6^{10}}. \frac{1}{6!}. \frac{\binom{100}{10}}{6^{10}}.

22. Rozpatrzmy nast_{}epuj _{}acy warunek: istnieje taki ci _{}ag geometryczny (a_{k}), że liczby a_{1},...a_{n} s _{}a całkowite, a wszystkie dalsze wyrazy ci _{}agu: a_{n+1} , a_{n+2} ,... nie s _{}a całkowite. Wówczas

tylko liczba n = 1 spelnia ten warunek. nieskończenie wiele liczb całkowitych dodatnich nie spelnia tego warunku. każda dodatnia całkowita liczba n spełnia ten warunek.

23*. Na szachownicy 4n × 4n da si_{}e ustawić tak, by si_{}e nie biły:

8n^{2} skoczków. 8n^{2} + 1 skoczków. 4n^{2} + 1 króli.

24. W Staszicu jest 112 dzielnych humanistów. Maj _{}a do przeczytania trzy ksi _{}aźki: P otop, Nad Niemnem i Ludzi bezdomnych. 17 osób przeczytało tylko P otop, 35 - tylko Ludzi bezdomnych, a 27 - tylko Nad Niemnem. Dziewi_{}etnastu humanistów przeczytało zarówno P otop, jak i Ludzi bezdomnych (być może niektórzy z nich przeczytali też Nad Niemnem).

Jest możliwe, że P otop przeczytało co najmniej 70 osób. Jest możliwe, że nikt nie przeczytał wszystkich trzech ksi _{}ażek. Jest możliwe, że Nad Niemnem przeczytało co najmniej 60 osób.

25. Wielomian a^{5} − a^{4} − a^{3} − a^{2} + a + 1 posiada:

maksimum lokalne w przedziale (−\frac{π}{4}, 1). minimum lokalne w przedziale (1, 2). pi_{}eć różnyh pierwiastków rzeczywistych.

26. Grupka przyjaciół bawi si_{}e w lesie. Wiadomo, że w pewnej chwili Marcin stoi w odległości 665 kroków od Onufrego, 2191 kroków od Joasi oraz 760 kroków od Wojtka. Jednocześnie Karol jest o 2208 kroków od Wojtka, 2504 od Marcina i 313 kroków od Joasi. Jeśli od Wojtka do Onufrego jest 95 kroków, to odległość pomi_{}edzy Joasi _{}a a Onufrym

może być mniejsza niż 2005. musi być mniejsza niż 2005. musi być nie mniejsza niż 2005.

27. Liczba wszystkich rosn _{}acych ci _{}agów siedemnastoelementowych o wyrazach należ _{}acych do zbioru {1,2,...,2005} jest

podzielna przez 1999. równa \binom{2005}{17} · 17!.

równa \binom{2005}{1988}

28*. Spośród wszystkich funkcji g : ℝ → ℝ funkcja f(x) = x jest jedyn _{}a funkcj _{}a, dla której dla dowolnych x, y ∈ ℝ

f(x − y)f(x + y) = x^{2} − y^{2}. f(x) + f(y) = f(x + y). f(x)f(y) = f(xy).

29. Dane s _{}a liczby rzeczywiste a, b, c, d, takie, że zachodzi ab = cd. Wówczas, jeśli a < c, to:

musi być b > d.

jeśli a, b, c, d s _{}a całkowite i wi_{}eksze od 1, to b i c musz _{}a mieć wspólny dzielnik. jeśli a, b, c, d s _{}a całkowite dodatnie, to z odcinków o długosciach a, b, c, d da si_{}e

zbudowac czworok _{}at.

30. W trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC punkty D,E,F s _{}a spodkami wysokości poprowadzonych odpowiednio z wierzchołków A,B,C. Niech s b_{}edzie iloczynem długości boków trójk _{}ata DEF zaś t iloczynem długości boków trójk _{}ata ABC. Wówczas, jeśli oznaczymy przez [XY Z] pole trójk _{}ata XY Z, to:

\frac{[AEF][BDF][CDE]}{[ABC]^{3}} = \frac{s}{t}
\frac{[AEF][BDF][CDE]}{[ABC]^{3}} = \frac{s^{2}}{t^{2}}
\frac{s}{t} = \frac{1}{8}