.......................................................................  ...........  ................................
imie i nazwisko  klasa  nr telefonu

Test kwalifikacyjny na VI Warsztaty Matematyczne

Klasa pierwsza

Na pytania odpowiada si_{}e �tak” lub �nie” poprzez wpisanie odpowiednio �T” b _{}adź �N” w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja odpowiedzi �tak” i �nie”. W zestawach zaznaczonych gwiazdk _{}a (gwiazdka wygl _{}ada tak: * ) prócz udzielenia odpowiedzi należy je uzasadnic.

Zasady punktacji:

Za pojedyncz _{}a poprawn _{}a odpowiedź: 1 punkt.

Za pojedyncz _{}a niepoprawn _{}a odpowiedź: –1 punkt.

Za brak odpowiedzi: 0 punktów.

Za wszystkie poprawne odpowiedzi w jednym trzypytaniowym zestawie dodatkowe 2 punkty.

Za poprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi: 1 punkt.

Za niepoprawne uzasadnienie pojedynczej odpowiedzi badź brak takowego: 0 punktów.

Powodzenia!

1. Liczba 2006^{2004} − 4321^{234} jest podzielna przez:

5. 7. 9.

2. Grupka przyjaciół bawi si_{}e w lesie. Wiadomo, że w pewnej chwili Marcin stoi w odległości 665 kroków od Onufrego, 2191 kroków od Joasi oraz 760 kroków od Wojtka. Jednocześnie Karol jest o 2208 kroków od Wojtka, 2504 od Marcina i 313 kroków od Joasi. Jeśli od Wojtka do Onufrego jest 95 kroków, to odległość pomi_{}edzy Joasi _{}a a Onufrym

może być mniejsza niż 2005. musi być mniejsza niż 2005. musi być nie mniejsza niż 2005.

3. Onufry ma w szufladzie 13 źółtych r_{}ekawiczek, 7 fioletowych i 8 pomarańczowych. Zamyka oczy i losuje n z nich. Wówczas jeśli wyci _{}agnie

co najmniej 16 r_{}ekawiczek, to ma pewność, że wyci _{}agn _{}ał par_{}e jednakowego koloru. co najmniej 25 r_{}ekawiczek, to ma pewność, że wyci _{}agn _{}ał par_{}e jednakowego koloru. co najwyżej 7 r_{}ekawiczek, to ma pewność, że nie wyci _{}agn _{}ał pary jednakowego

koloru.

4. Trawa na całym polu rośnie jednakowo g_{}esto i szybko. Jeźeli 60 krów ogołaca całe pole z trawy dokładnie w 24 dni, a 30 krów - dokładnie w 60 dni, to w dokładnie 100 dni całe pole zje 12 krów. 18 krów. 22 krowy.

5*. W pi_{}eciok _{}acie ABCDE wiadomo, że CE||AB oraz AD||BC. Niech P b_{}edzie przeci_{}eciem przek _{}atnych CE i AD. Oznaczmy przez [XY Z] pole trójk _{}ata XY Z. Wówczas:

[AEP] = [CDP].

[AEB] = [BCD]. [EP D] = [ABC].

6. Dane s _{}a liczby rzeczywiste a, b, c, d, takie, że zachodzi ab = cd. Wówczas, jeśli a < c, to:

musi być b > d. jeśli a, b, c, d s _{}a całkowite i wi_{}eksze od 1, to b i c musz _{}a mieć wspólny dzielnik. jeśli a, b, c, d s _{}a całkowite dodatnie, to z odcinków o długosciach a, b, c, d da si_{}e

zbudowac czworok _{}at.

7. Rozpatrzmy nast_{}epuj _{}acy warunek: istnieje taki ci _{}ag geometryczny (a_{k}), że liczby a_{1},...a_{n} s _{}a całkowite, a wszystkie dalsze wyrazy ci _{}agu: a_{n+1} , a_{n+2} ,... nie s _{}a całkowite. Wówczas

tylko liczba n = 1 spelnia ten warunek. nieskończenie wiele liczb całkowitych dodatnich nie spelnia tego warunku. każda dodatnia całkowita liczba n spełnia ten warunek.

8. Onufry i Joasia maj _{}a po symetrycznej monecie. Onufry rzuca ni _{}a 2004 razy, a Joasia 2005 razy. Szansa, że

Onufry wyrzuci wi_{}ecej orłów niż reszek jest mniejsza niż 50%. Joasia wyrzuci wi_{}ecej orłów niż reszek jest mniejsza niż 50%. Onufry wyrzuci nie wi _{}Ecej niż 501 orłów jest mniejsza niż 25%.

9*. Czy dla każdej liczby naturalnej n po liczbie jej dzielników można stwierdzić, czy jest ona:

liczb _{}a pierwsz _{}a? kwadratem pewnej liczby naturalnej? sześcianem pewnej liczby naturalnej?

10. Wojtek wypisuje ci _{}agi złożone z cyfr 1, 2, 3 i 4 takie, że żadna para s _{}asiednich cyfr nie powtarza si_{}e. Wojtek może w ten sposób wypisać ci _{}ag o długości:

16. 17. 18.

11. Rycerz walczy ze smokiem 2005^{2004} głowach. Jednym ci_{}eciem miecza może mu obci _{}ać 14028 głów (wtedy żadna nie odrasta), 22 głowy (przy czym wtedy jedna odrasta) lub 9 głów (i odrasta 37). Rycerz może sprawić, że potworowi zostanie dokładnie

zero głów jedna głowa. dwie głowy.

12. W Staszicu jest 112 dzielnych humanistów. Maj _{}a do przeczytania trzy ksi _{}aźki: P otop, Nad Niemnem i Ludzi bezdomnych. 17 osób przeczytało tylko P otop, 35 - tylko Ludzi bezdomnych, a 27 - tylko Nad Niemnem. Dziewi_{}etnastu humanistów przeczytało zarówno P otop, jak i Ludzi bezdomnych (być może niektórzy z nich przeczytali też Nad Niemnem).

Jest możliwe, że P otop przeczytało co najmniej 70 osób. Jest możliwe, że nikt nie przeczytał wszystkich trzech ksi _{}ażek. Jest możliwe, że Nad Niemnem przeczytało co najmniej 60 osób.

13. Wielok _{}at wypukły, który ma 152 przek _{}atne, ma 18 boków. ma 19 boków. nie istnieje.

14*. Na szachownicy 4n × 4n da si_{}e ustawić tak, by si_{}e nie biły:

8n^{2} skoczków. 8n^{2} + 1 skoczków. 4n^{2} + 1 króli.

15. Na bokach AB i BC dziewi_{}eciok _{}ata foremnego ABCDEF GHI dobudowano trójk _{}at równoboczny ABK i sześciok _{}at foremny BCST UW. Miara k _{}ata KBW może być równa:

40^{∘}.

160^{∘}. 80^{∘}.

16. Dane s _{}a dwie liczby niewymierne p i q. Może być wymiern _{}a liczba

p − q. \sqrt{pq}. \sqrt[3]{p + q}.

17*. Najkrótsz _{}a wysokości _{}a danego, niezdegenerowanego, trójk _{}ata jest h. Wówczas żaden bok nie jest krótszy niż h. któryś bok może być równy h. najkrótsza środkowa jest nie mniejsza niż h.

18. Funkcja f : ℝ → ℝ jest parzysta, a funkcja g : ℝ → ℝ - nieparzysta i okresowa. Funkcja f(g(x)) jest nieparzysta. Funkcja g(f(x)) jest parzysta. Istnieje takie a ∈ ℝ, że g(x + a) jest parzysta.

19. Sfera może mieć z kraw_{}edziami sześcianu dokładnie:

13 punktów wspólnych. 25 punktów wspólnych. 7 punktów wspólnych.

20. W pi_{}eciok _{}acie foremnym ABCDE:

miara k _{}ata BAC jest wi_{}eksza od miary k _{}ata CAD. miara k _{}ata BAC jest mniejsza od miary k _{}ata CAD. pole trójk _{}ata BAC jest wi_{}eksze od pola trójk _{}ata CAD.

21. Dana jest liczba rzeczywista dodatnia a. Czy wartość wyrażenia a(a^{2} + 3) + \frac{1}{a}(\frac{1}{a^{2}} + 3) − 1 jest zawsze:

2π 7 > 7.

22*. Rozcinamy płaszczyzn_{}e za pomoc _{}a n różnych prostych (n 2). Czy możemy otrzymać

n cz_{}eści? 3n − 3 cz_{}eści? \frac{n(n+1)}{2} + 1 cz_{}eści?

23. Czy istnieje koło, gdzie wymiernymi s _{}a:

obwód i pole? pole? obwód i długość promienia?

24. W trójk _{}at ABC wpisano okr _{}ag styczny do boków BC,AC,AB w punktach D,E,F. Nast_{}epnie w trójk _{}at DEF wpisano okr _{}ag styczny do boków EF,DF,DE odpowiednio w punktach G, H, I. Wówczas:

trójk _{}aty ABC i GHI s _{}a podobne. znaj _{}ac miar_{}e k _{}ata BAC można wyliczyć miar_{}e k _{}ata HGI. stosunek pól trójk _{}atów ABC i GHI jest równy 16.

25*. Dane s _{}a dwa ci _{}agi arytmetyczne: 2, 9, 16, … i 8, 13, 18, . . .. Wówczas: istnieje skończenie wiele liczb naturalnych wyst_{}epuj _{}acych jednocześnie w obu ci _{}agach. liczba 5^{2007} + 3 wyst_{}epuje jednocześnie w obu ci _{}agach. liczba 3^{809} + 11 wyst_{}epuje jednocześnie w obu ci _{}agach.

26. Liczba 2^{3} · 3^{2} · 4^{5} · 5^{4} · 6^{7} · 7^{6} ma dokładnie 6 dzielników pierwszych. 4320 dzielników. 2280 dzielników złożonych.

27. W trójkacie prostok _{}atnym ABC k _{}at przy wierzchołku C jest prosty, zaś |AC| = 4 i |BC| = 3. Niech M b_{}edzie średkiem boku AB, a D przeci_{}eciem dwusiecznej k _{}ata C z prost _{}a AB. Wówczas:

|CM| > |CD|. |CD| = \frac{12}{7} \sqrt{2} Punkty A, M, D, B leż _{}a, w tej właśnie kolejności, na prostej AB.

28. Każdy z grupy stu uczniów Staszica rzuca sześcienn _{}a kostk _{}a. Prawdopodobieństwo tego, że pewnych dziesi_{}eciu z nich uzyska ten sam wynik, wynosi:

\frac{100}{6^{10}}. \frac{1}{6!}. \frac{1}{6^{10}} .

29*. Spośród wszystkich funkcji g : ℝ → ℝ funkcja f(x) = x jest jedyn _{}a funkcj _{}a, dla której dla dowolnych x, y ∈ ℝ

f(x − y)f(x + y) = x^{2} − y^{2}. f(x) + f(y) = f(x + y). f(x)f(y) = f(xy).

30. Funkcja f(x) = sin(cosx) dla wszystkich rzeczywistych x ma najwi_{}eksz _{}a wartość równ _{}a 1. jest okresowa. przyjmuje wartość 0 nieskończenie wiele razy.