KÓŁKO - SYMEDIANY I WST _{}EP DO BIEGUNOWYCH - 2.04.2008

TEORIA

Symediana w trójk _{}acie to odbicie jego środkowej wzgl_{}edem dwusiecznej wychodz _{}acej z tego samego wierzchołka.

Niech D należy do boku BC trójk _{}ata ABC. Wtedy AD jest symedian _{}a w tym trójk _{}acie wtedy i tylko wtedy, gdy \frac{BD}{CD} = (\frac{AB}{AC})^{2}.

Niech ABCD b_{}edzie czworok _{}atem wpisanym w okr _{}ag. Wtedy AC jest symedian _{}a w trójk _{}acie ABD wtedy i tylko wtedy, gdy przeci_{}ecie stycznych do tego okr_{}egu w punktach B i D leży na prostej AC oraz wtedy i tylko wtedy gdy AC · BD = AB · CD

1.0. Niech ABCD b_{}edzie czworok _{}atem wpisanym w okr _{}ag. Wykazać, że AC jest symedian _{}a w trójk _{}acie ABD wtedy i tylko wtedy gdy BD jest symedian _{}a w trójk _{}acie BAC.

1.1. Niech ABCD b_{}edzie czworok _{}atem wypukłym wpisanym w okr _{}ag o, zaś a, b, c, d niech b_{}ed _{}a prostymi stycznymi do okr_{}egu o w punktach odpowiednio A, B, C, D. Udowodnić, że proste AC, b, d przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy gdy proste BD, a, c przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie.

1.2. Czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr _{}ag, punkt M jest środkiem odcinka AC. Wykazać, że ∠AMB = ∠AMD wtedy i tylko wtedy, gdu BD jest symedian _{}a w trójk _{}acie ABC.

1.3. Dany jest trójk _{}at ABC, w którym AC = BC. Punkt P leży wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC oraz ∠P AB = ∠P BC. Punkt M jest środkiem boku AB. Wykazać, że ∠AP M + ∠BP C = 180^{∘}.

1.4. Proste AB i AC s _{}a styczne do okr_{}egu o odpowiednio w punktach B i C, prosta przchodz _{}aca przez punkt A przecina okr _{}ag o w punktach P i Q, a ci_{}eciw_{}e BC w punkcie D. Wykazać, że \frac{P A}{P D} = \frac{QA}{QD}.

1.5. Punkt L leży na boku AB trójk _{}ata ABC, przy czym prosta CL jest symedian _{}a trójk _{}ata ABC. Punkt K leży na odcinku CL. Proste AK i BK przecinaj _{}a boki BC i CA odpowiednio w punktach D i E. Proste DE i AB przecinaj _{}a si_{}e w punkcie P. Wykazać, że prosta CP jest styczna do okr_{}egu opisanego na trójk _{}acie ABC.

O symedianach mało można znaleźć w literaturze, za to o biegunowych znajdziemy sporo cytatów. Poniżej przykład dokształcania dzieci - niestety biegunowa została błednie nazwana biegunem:

”Krzyś przypatrzył si_{}e dobrze drewienku. -To biegun od mojego drewnianego konia z odłamana nog _{}a - zawołał - poznaje! - A po chwili rzekł uroczyście: - Puchatku, Wyprawa jest zakończona. Znalazłeś Biegun Północny.”

Nie wiem, co to biegunowa północna. Literatura matematyczna milczy na ten temat.