Nierówności i nie tylko

22.10.2009

1. Suma liczb rzeczywistych a, b, c > −\frac{3}{4} wynosi 1. Pokazać, że zachodzi nierówność:

\frac{a}{a^{2} + 1} + \frac{b}{b^{2} + 1} + \frac{c}{c^{2} + 1} ⩽ \frac{9}{10}.

2. Dane s _{}a liczby dodatnie a_{1}, a_{2}, …, a_{5} takie, że

∑_{i=1}^{5} \frac{1}{1 + a_{i}} = 1.

Wykazać, że spełniona jest nierówność:

∑_{i=1}^{5} \frac{a_{i}}{4 + a_{i}^{2}} ⩽ 1.

3. Okr _{}ag o środku w O przechodz _{}acy przez punkty A i C przecina boki AB i CB trójk _{}ata ABC ponownie w punktach odpowiednio K i L. Okr _{}ag opisany na trójk _{}acie ANC i okr _{}ag opisany na trójk _{}acie KBL przecinaj _{}a się w dwóch różnych punktach B i M. Udowodnić, że ∠BMO = 90^{∘}.

4. Dany jest wielomian W ≢ 0 o współczynnikach rzeczywistych. Pokazać, że dla każdego n ∈ ℕ wielomian W (x) − x dzieli wielomian:

\underbrace{W (W (…(W}_{n}(x)) …)) − x.