KÓŁECZKO PRZEDŚWI _{}ATECZNE (19.12.2007)

1. WSZYSTKIEGO NAJLEPSZEGO PRZEDŚWI _{}ATECZNIE!

2. Dane s _{}a przystaj _{}ace kwadraty: ABCD i P QRS. Wykazać, że środki odcinków AP, BQ, CR, DS s _{}a wierzchołkami kwadratu lub leż _{}a na jednej prostej.

3. Udowodnij, że dla każego a > 2 istnieje nieskończenie wiele n ∈ ℕ, takich że n|a^{n} − 1.

4. Dany jest okr _{}agły tor samochodowy, a w jego niektórych punktach znajduj _{}a si_{}e składy paliwa. We wszystkich składach jest w sumie tyle paliwa, ile zużywa samochód do przejechania całego toru. Udowodnić, że można tak wybrać jeden ze składów, aby samochód tankuj _{}ac po drodze przejechał cały tor (i nie zabrakło mu paliwa mi_{}edzy składami).

5. Środkowe AD, BE i CF trójk _{}ata ABC przecinaj _{}a si_{}e w punkcie S. Na każdym z czworok _{}atów AF SE i BDSF można opisać okr _{}ag. Wykazać, że trojk _{}at ABC jest równoboczny.

6. Znaleźć wartości a i b, dla których x^{4} + ax_{3} + bx_{2} − 8x + 1 jest kwadratem pewnego wielomianu.