Stare pierwsze etapy

1. Ci _{}ag a_{n} zdefiniowany jest rekurencyjnie dla k 1:

\{ \begin{matrix}a_{1} = 4 \\ a_{k+1} = a_{k}^{2} − 2 \end{matrix}

Pokazać, że dla każdego n naturalnego zachodzi:

a_{n+1} > 2\sqrt{3}a_{1}a_{2} …a_{n}

2. Pokazać, że równanie x^{x} = y^{3} + z^{3} ma nieskończenie wiele rozwi _{}azań w liczbach całkowitych dodatnich x, y, z.

3. Liczby nieujemne a, b, c, p, q, r spełniaj _{}a warunki:

a + b + c = p + q + r = 1, p, q, r \frac{1}{2}

Pokazać, że zachodzi 8abc pa + qb + rc. Kiedy zachodzi równość?

4. W trójk _{}acie równobocznym ABC prosta styczna do okr_{}egu wpisanego przecina boki AB i AC odpowiednio w D i E. Pokazać, że \frac{AD}{DB} + \frac{AE}{EC} = 1.

5. W trójk _{}acie ABC w którym AB > AC, punkt D jest środkiem odcinka BC zaś punkt E leży na boku AC. Niech P i Q b_{}ed _{}a rzutami odpowiednio punktów B i E na prost _{}a AD. Pokazać, że AD = P Q wtedy i tylko wtedy, gdy BE = AC + AE.

6. Znaleźć wszystkie rozwi _{}azania w liczbach całkowitych równania x^{2}(y −1)+y^{2}(x−1) = 1.

7. Wewn _{}atrz równoległościanu, którego kraw_{}edzie maj _{}a długości a, b, c umieszczono punkt P. Pokazać, że istnieje wierzchołek równoległościanu taki, że jego odległość od punktu P nie przekracza \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} .