Sumy

1. Oblicz ∑ _{i=0}^{n} \binom{n}{i}.

2. Oblicz ∑ _{i=0}^{n} \binom{n}{i}(−1)^{i}.

3. Oblicz ∑ _{i=0}^{n} \binom{n}{i} ^{2}.

4. Oblicz ∑ _{i=0}^{n} \binom{n}{i} ^{2}(−1)^{i}.

5. Oblicz ∑ _{i=0}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} \binom{n}{i} \binom{n−i}{i}2^{n−2i} .

6. Oblicz ∑ _{i=0}^{n} \binom{n}{i}k^{i}.

7. Oblicz ∑ _{i=1}^{n} i(i − 1)(−1)^{i}.

8. Oblicz ∑ _{i=0}^{n} i\binom{n}{i}.

9. Oblicz ∑ _{i=0}^{n} \frac{\binom{n}{i}}{i+1}.

10. Oblicz ∑ _{i=1}^{n} (n − i + 1)\binom{n}{i} \binom{n}{i−1}.

11. Oblicz ∑ _{k=0}^{n} ∑ _{l=0}^{n−k} \binom{n}{k} \binom{n−k}{l}.

12. Niech n,p,r całkowite dodatnie takie, że n p + r. Oblicz ∑ _{i=0}^{n} \binom{i}{p} \binom{n−i}{r}.

13. Pokazać, że dla każdego całkowitego dodatniego n podzielnego przez 3 zachodzi:

∑_{k=0}^{n} ∑_{i=0}^{n} \binom{n}{k} \binom{n}{i} \binom{n − k}{n − 2k − i} (−1)^{n−i} = \binom{n}{\frac{n}{3}}

.