Głównie średnia teoria liczb

wtorek, 28 marca 2006 roku

1. Pokazać, że funkcja f(n) = n^{τ(n)} jest różnowartościowa. Przy czym τ(n) jest liczb _{}a dodatnich dzielników n.

2. Niech p ⩾ 5 b_{}edzie liczb _{}a pierwsz _{}a i n = \frac{2^{2p} −1}{3} . Pokazać, że n dzieli 2^{n} − 2.

3. Wiemy, że dla x, y ∈ ℝ, x^{2} + y^{2} ⩾ 1 + xy. Udowodnić, że x^{2m} + y^{2m} ⩾ \frac{2}{3^{m}} .

4. Znaleźć reszt_{}e z dzielenia 6^{2001} przez 1000.

5. Dowieść, że dla każdego wielomianu całkowitoliczbowego P (x) = x^{2} + px + q, istnieje taki wielomian całkowitoliczbowy W (x) = 2x^{2} + rx + s, że zbiory wartości tych wielomianów w punktach całkowitych s _{}a rozł _{}aczne.

6. Dla liczb x, y, z ∈ ℝ+, spełniaj _{}acych warunek: x + y + z = 3, pokazać, że

\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} ⩾ xy + yz + zy

.