Co nieco ze stereometrii

de facto wykład z VIII WM; podziękowania dla Ojca 16.04.2009

Trik 1. Każdy czworościan można wpisać w równoległościan.

5 faktów o czworościanie równościennym Następuj _{}ace stwierdzenia s _{}a równoważne: ⋆ Naprzeciwległe krawędzie czworościanu maj _{}a równ _{}a długość (każde dwie). ⋆ Ściany s _{}a przystaj _{}ace. ⋆ Ściany maj _{}a równe pola. ⋆ Wszystkie 3 środkowe (proste ł _{}acz _{}ace środki przeciwległych krawędzi) s _{}a prostopadłe do odpowiednich krawędzi. ⋆ 2 spośród środkowych s _{}a prostopadłe do odpowiednich krawędzi.

3 inne równoważne fakty Dany jest czworościan ABCD. Następuj _{}ace stwierdzenia s _{}a równoważne. ⋆ Naprzeciwległe krawędzie czworościanu s _{}a prostopadłe. ⋆ Sumy kwadratów długości naprzeciwległych krawędzi s _{}a równa. ⋆ Istnieje przecięcie wysokości.

Zadanko 1. Czworościan ABCD ma przy wierzchołku A trzy k _{}aty proste. Punkty X, Y, Z s _{}a środkami krawędzi niezawieraj _{}acych punktu A. Wykazać, że czworościan AXY Z ma równe pola ścian.

Zadanko 2. Czworościan ABCD, punkt O_{I} to środek okręgu wpisanego w ścianę naprzeciwko wierzchołka I. Udowodnić, że jeśli proste DO_{D}, AO_{A} przecinaj _{}a się w jednym punkcie, to dwie pozostałe (CO_{C}, BO_{B}) też.

Zadanko 3. Czworościan foremny ABCD; M to środek BC, F – AB, E – DM. Wykazać, że ∠CEF = 90^{∘}.