KÓŁECZKO ZE STEREOMETRII (30.1.2008, godz. 3:01)

1. Czy istnieje taki czworościan, że jego wszystkie ściany s _{}a przystaj _{}acymi trójk _{}atami różnobocznymi?

2. Dany jest sześcian o podstawach ABCD i P QRS. Na przek _{}atnej BS sześcianu wyznaczyć taki punkt M, by suma MA + MP była najmniejsza.

3. Dany jest prostopadłościan o podstawach ABCD i P QRS taki, że AB = 1, BC = 2, AP = 3. Na przek _{}atnej BS tego prostopadłościanu wyznaczyć taki punkt M, by suma MA + MD była najmniejsza.

4. Dany jest czworościan ABCD, w którym o_{1}, o_{2}, o_{3}, o_{4} s _{}a odpowiednio okr_{}egami wpisanymi w trójk _{}aty ABC, BCD, CDA, DAB. Wykazać, że jeśli o_{1} i o_{2} s _{}a styczne do BC w tym samym punkcie, to o_{3} i o_{4} s _{}a styczne do AD w jednym punkcie.

5. Dany jest czworościan ABCD, w którym O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4} s _{}a odpowiednio środkami okr_{}egów wpisanych w trójk _{}aty ABC, BCD, CDA, DAB. Wykazać, że jeśli proste DO_{1} i AO_{2} si_{}e przecinaj _{}a, to proste BO_{3} i CO_{4} również.

6. Suma kwadratów długości kraw_{}edzi czworościanu jest równa k, suma kwadratów długości środkowych tego czworościanu jest równa s. Wykazać, że k = 4s.

7. W czworościanie foremnym ABCD punkt M jest środkiem kraw_{}edzi BC, punkt F jest środkiem kraw_{}edzi AB, punkt E jest średkiem kraw_{}edzi DM. Wykazać, że k _{}at CEF jest k _{}atem prostym.