Nietrudne zadania z (bardzo) starych olimpiad

8.04.2009

1. Udowodnić, że wszystkie podzbiory zbioru skończonego można ustawić w ci _{}ag, którego kolejne wyrazy różni _{}a się jednym elementem (zbiory A i B różni _{}a się jednym elementem, jeśli jeden ze zbiorów A\B oraz B\A jest pusty, a drugi – jednoelementowy).

2. W kwadracie ABCD o boku 1 leży czworok _{}at wypukły o polu większym od \frac{1}{2}. Dowieść, że w tym czworok _{}acie mieści się odcinek o długości \frac{1}{2} równoległy do AB.

3. Niech W będzie wielomianem stopnia n ⩾ 1 o współczynnikach całkowitych. Dowieść, że jeżeli dla co najmniej 2n + 1 różnych wartości całkowitych α liczba |W (α)| jest (w zależności od α) liczb _{}a pierwsz _{}a lub równ _{}a 1, to wielomian W nie jest iloczynem dwóch wielomianów stopnia dodatniego o współczynnikach całkowitych.

4. Na bokach BC, CA, AB trójk _{}ata ABC obrano odpowiednio punkty K, L, M w taki sposób, że odcinki AK, BL, CM przecinaj _{}a się w punkcie S leż _{}acym wewn _{}atrz trójk _{}ata ABC i \frac{AS}{SK} = \frac{BS}{SL} = \frac{CS}{SM} . Dowieść, że S jest środkiem ciężkości trójk _{}ata ABC.

5. Pokazać, że dla każdej liczby naturalnej n ⩾ 1 istnieje liczba o n cyfrach, podzielna przez 2^{n} i składaj _{}aca się (w zapisie dziesiętnym) z samych jedynek i dwójek.

6. W pięciok _{}acie wypukłym ABCDE spełnione s _{}a zależności:

∠ABD = ∠ACE, ∠ACB = ∠ACD, ∠ADC = ∠ADE, ∠ADB = ∠AEC.

Odcinki BD i CE przecinaj _{}a się w punkcie S. Pokazać, że proste AS i CD s _{}a prostopadłe.