KÓŁECZKO Z NIERÓWNOŚCI MI _{}EDZY ŚREDNIMI (26.03.2008)

1. a_{1}, a_{2}, …, a_{n} ∈ ℝ_{+} . Udowodnić, że

\frac{a_{1}}{a_{2}} + \frac{a_{2}}{a_{3}} + … + \frac{a_{n}}{a_{1}} n

2. a, b, c ∈ ℝ_{+} . Udowodnić, że

\frac{2}{a + b} + \frac{2}{b + c} + \frac{2}{c + a} \frac{9}{a + b + c}

3. a, b, c ∈ ℝ_{+} oraz a + b + c = 1. Udowodnić, że \sqrt{2a + 1} + \sqrt{2b + 1} + \sqrt{2c + 1} \sqrt{15}

4. a, b, c ∈ ℝ_{+} oraz abc(a + b + c) = 1. Udowodnić, że (a + b)(a + c) 2

5. a, b, c ∈ ℝ_{+} . Wykazać, że

\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} \frac{36}{a + b + c}

6. a, b, c, d ∈ ℝ_{+} oraz a^{2008} +b^{2008} +c^{2008} +d^{2008} = 2008. Znaleźć najwi_{}eksz _{}a możliw _{}a wartość wyrażenia a^{499} + b^{501} + c^{503} + d^{505}.

7. a, b, c ∈ ℝ_{+} . Udowodnić nierówność Schura:

(a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) abc