Przedfinałowe pałowanie na sinusach

15.04.2009

1. Trójk _{}at ABC jest wpisany w okr _{}ag ω. Styczna do ω w punkcie A przecina prost _{}a BC w punkcie D. Prosta prostopadła do BC w punkcie B przecina symetraln _{}a odcinka AB w E, natomiast prosta prostopadła do BC w punkcie C przecina symetraln _{}a odcinka AC w punkcie F. Pokazać, że punkty D, E i F s _{}a współliniowe.

2. Dany jest okr _{}ag o środku w punkcie O. Odcinek AB jest cięciw _{}a tego okręgu i nie jest jego średnic _{}a. Cięciwa AC tego okręgu przechodzi przez środek odcinka OB. Proste OC i AB przecinaj _{}a się w punkcie P, zaś proste OA i BC przecinaj _{}a się w punkcie Q. Udowodnić, że P C = AQ.

3. Czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr _{}ag, a ponadto:

AB = a, BC = b, CD = c, ∠ABC = 120^{∘}, ∠ABD = 30^{∘}.

Wykazać, że c ⩾ a + b oraz |\sqrt{c + a} − \sqrt{c + b}| = \sqrt{c − a − b} .

4. Dwa okręgi ω_{1} i ω_{2} o środkach odpowiednio w O_{1} i O_{2} przecinaj _{}a się w dwóch różnych punktach A i B. Prosta O_{1}A przecina okr _{}ag ω_{2} w punktach A i D (A ≠ D), a prosta O_{2}A przecina okr _{}ag ω_{1} w punktach A i C (A ≠ C). Prosta równoległa do CD przechodz _{}aca przez B przecina okr _{}ag ω_{1} w punkcie E, a okr _{}ag ω_{2} – w F (E ≠ B ≠ F). Dowieść, że EF = CB +BD.