Geometria rzutowa - wybór zadań

1. (Tw. o Motylku) Punkt M jest środkiem ci_{}eciwy AB okr_{}egu ω. Ci_{}eciwy CD i EF przechodz _{}a przez punkt M, zaś punkty P i Q to odpowiednio punkty przeci_{}ecia ci_{}eciw CE i DF z prost _{}a AB. Pokazać, że P M = QM.

2. W okr_{}egu ω dana jest ci_{}eciwa CE nieb_{}ed _{}aca średnic _{}a. Punkt D jest środkiem krótszego łuku CE, odcinek KD zaś jest średnic _{}a okr_{}egu ω. Punkty A i B należ _{}a odpowiednio do odcinków KE i KC. F jest takim punktem na odcinku AB, że \frac{|BF |}{|AF |} = \frac{|BC|}{|AE|}. Udowodnić, że |∡F CE| = |∡ADE|.

3. (tw. o Nożycach) Dany jest k _{}at XAY oraz punkt P nie należ _{}acy do żadnego z ramion. Z punktu P poprowadzono n prostych tn _{}acych ramiona k _{}ata w punktach X_{i} i Y_{i}. Dla i od 1 do n − 1 punkt przeci_{}ecia przek _{}atnych czworok _{}ata X_{i}X_{i+1} Y_{i+1} Y_{i} nazywamy E_{i}. Pokazać, że wszystkie punkty E_{i} leż _{}a na jednej prostej przechodz _{}acej przez A.

4. (tw. Desarguesa) Pokazać, że dwa trójk _{}aty maj _{}a środek perspektywiczny, tzn. proste przechodz _{}ace przez odpowiadaj _{}ace sobie wierzchołki przecinaj _{}a si_{}e w jednym punkcie wtedy itylko wtedy, gdy posiadaj _{}a oś perspektywiczn _{}a, tzn. punkty przeci_{}ecia odpowiadaj _{}acych sobie boków leż _{}a na jednej prostej.

5. (tw. Newtona) Dany jest czworok _{}at zupełny (tzn. taki z punktami przeci_{}eć naprzeciwległych boków). Pokazać, że środki wszystkich trzech przek _{}atnych (trzecia to ta ł _{}acz _{}aca te przeci_{}ecia) leż _{}a na jednej prostej.

6. Okr _{}ag o środku w O wpisany w czworok _{}at ABCD styczny jest do boków AB, BC, CD, AD odpowiednio w punktach K, L, M, N, przy czym proste KL i MN przecinaj _{}a si_{}e w punkcie S. Pokazać, że proste BD i OS s _{}a prostopadłe.

7. Okr _{}ag o środku I jest wpisany w czworok _{}at wypukły ABCD, przy czym punkt I nie leży na prostej AC. Przek _{}atne AC i BD przecinaj _{}a si_{}e w punkcie E. Prosta przechodz _{}aca przez punkt E oraz prostopadła do prostej BD przecina proste AI, CI odpowiednio w punktach P, Q. Wykazać, że P E = EQ.