Lajtowe kółko na odpr_{}eżenie

1. Dane s _{}a n elementowe ci _{}agi liczb dodatnich a_{i} oraz b_{i} sumuj _{}ace si_{}e do A i B odpowiednio. Pokazać, że:

∑_{i=0}^{n} \frac{a_{i}b_{i}}{a_{i} + b_{i}} \frac{AB}{A + B}

2. Wielomian o współczynnikach całkowitych daje przy dzieleniu przez wielomian x^{2}−12x+ 11 reszt_{}e 990x − 889. Pokazać, że nie ma on pierwiastków całkowitych.

3. Pokazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n i pierwszej p liczba n^{p^{p}} + p^{p} jest złożona.

4. Dany jest trapez równoramienny ABCD w którym BC∥AD. Punkt I jest środkiem okr_{}egu wpisanego w trójk _{}at ABC. Punkt F leży na dwusiecznej k _{}ata BDC i spełnia warunek IF ⊥ BC. Okr _{}ag opisany na trójk _{}acie CF D przecina prost _{}a BC w punktach C i E. Wykazać, że trójk _{}at DEF jest równoramienny.

5. Pokazać, że dla n > 1 wielomian x^{n} + 5x^{n−1} + 3 nie rozkłada si_{}e na iloczyn dwóch niestałych wielomianów o współczynnikach całkowitych.

6. Rozstrzygn _{}ać, czy istnieje nieskończony ci _{}ag liczb naturalnych a_{1}, a_{2}, a_{3}, … spełniaj _{}acy równanie:

\frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{a_{n+1}} + \frac{1}{a_{n+2}}

7. Pokazać, że liczba

∑_{n=0}^{10^{10}} \binom{2 · 10^{10}}{2n} 5^{n}

jest podzielne przez 2^{2·10^{10} −1} .