Prosta rosyjska olimpiada

1. Niech a, b, c b_{}ed _{}a takimi liczbami rzeczywistymi, że a ≠ b i c ≠ 1. Wiemy, że równania x^{2} + ax + 1 = 0 i x^{2} + bx + c = 0 maj _{}a wspólny pierwiastek oraz równania x^{2} + x + a = 0 i x^{2} + cx + b = 0 maj _{}a też wspólny pierwiastek. Znajdź sum_{}e a + b + c.

2. Niech AA′ i CC′ b_{}ed _{}a wysokościami w trójk _{}acie ostrok _{}atnym ABC. Dwusieczna k _{}ata ostrego mi_{}edzy tymi wysokościami przecina boki AB i BC w punktach P i Q. Niech H b_{}edzie ortocentrum tego trójk _{}ata, a M środkiem boku AC. Niech R b_{}edzie przeci_{}eciem prostej HM i dwusiecznej k _{}ata ABC. Udowodnij, że na czworok _{}acie P BQR da si_{}e opisać okr _{}ag.

3. Znajdź wszystkie funkcje f : ℝ → ℝ, takie, że dla każdych liczb rzeczywistych x, y, z zachodzi nierówność:

f(x + y) + f(y + z) + f(z + x) 3f(x + 2y + 3z)

4. Punkt P leży na płaszczyźnie, an której jest także trójk _{}at równoboczny ABC. Wiem, że P A = 2 i P B=3. Jak _{}a maksymaln _{}a długość może mieć odcinek P C?

5. Na tablicy napisanych jest w rz_{}edzie 2^{n} liczb równych 1 lub −1. W jednym ruchu zast_{}epujemy każd _{}a z liczb a_{i} liczb _{}a a_{i}a_{i+1} , gdzie a_{2^{n} +1} = a_{1}. Pokazać, że po skończonej liczbie ruchów wszystkie liczby na tablicy b_{}ed _{}a dodatnie.

6. Dany jest prostok _{}at ABCD. Okr_{}egi o_{1}, o_{2}, o_{3}, o_{4} maj _{}a środki odpowiednio w punktach A, B, C, D i promienie r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4} przy czym r_{1} + r_{3} = r_{2} + r_{4}. Pokazać, że zewn_{}etrzne styczne par okr_{}egów o_{1},o_{3} oraz o_{2},o_{4} wycinaj _{}a z płaszczyzny czworok _{}at opisywalny na okr_{}egu.

7. Pokazać, że jeśli (a_{1}, a_{2}, …), (b_{1}, b_{2}, …) i (c_{1}, c_{2}, …) to nieskończone ci _{}agi liczb całkowitych dodatnich, to istniej _{}a liczby całkowite dodatnie p, q, że a_{p} a_{q}, b_{p} b_{q}, c_{p} c_{q}.

8. Dana jest liczba całkowita dodatnia n. Rozważamy wszystkie pary liczb wzgl_{}ednie pierwszych p, q, takie, że: 0 < p < q n, p + q > n. Pokazać, że suma liczb \frac{1}{pq} dla wszystkich takich par jest równa \frac{1}{2}.