Różne

1. Dane s _{}a liczby a_{1}, a_{2}, …, a_{6}, których suma równa jest 6. Znaleźć maksymaln _{}a wartość wyrażenia:

a_{1}a_{2}a_{3} + a_{2}a_{3}a_{4} + a_{3}a_{4}a_{5} + a_{4}a_{5}a_{6} + a_{5}a_{6}a_{1} + a_{6}a_{1}a_{2}

2. Pokazać, że średnia arytmetyczna najmniejszych elementów wszystkich możliwych relementowych podzbiorów zbioru n-elementowego wynosi \frac{n+1}{r+1} .

3. W sześciok _{}acie foremnym ABCDEF obrano na przek _{}atnych AC i CE punkty M i N takie, że \frac{AM}{MC} = \frac{CN}{NE} = r. Wiedz _{}ac, że punkty B, M, N s _{}a współliniowe, znaleźć r.

4. Niech ABCDEF b_{}edzie wypunkłym sześciok _{}atem w którym AB = BC = CD oraz DE = EF = F A oraz ∠BCD = ∠EF A = 60^{∘}. Punkty G i H leż _{}a wewn _{}atrz sześciok _{}ata oraz ∠AGB = ∠DHE = 120^{∘}. Pokazać, że AG + GB + GH + DH + HE CF.

5. BC jest średnic _{}a okr_{}egu o środku w O. A jest dowolnym punktem na okr_{}egu takim, że ∠AOC > 60^{∘}. EF jest ci_{}eciw _{}a zawart _{}a w symetralnej odcinka AO. D jest środkiem krótszego łuku AB. Prosta przechodz _{}aca przez O, równoległa do AD, przecina prost _{}a AC w J. Pokazać, że J jest środkiem okr_{}egu wpisanego w trójk _{}at CEF.

6. Okr_{}egi C_{1} i C_{2} leż _{}a wewn _{}atrz okr_{}egu C i s _{}a do niego styczne odpowiednio w punktam M i N, zaś C_{1} przechodzi przez środek C_{2}. Przedłużenie wspólnej ci_{}eciwy C_{1} i C_{2} przecina C w punktach A i B. Proste MA i MB przecinaj _{}a C_{1} jeszcze w E i F (oprócz M). Pokazać, że EF jest styczne do C_{1}.

7. Znaleźć maksymalne takie x_{0} dla którego istnieje ci _{}ag liczb rzeczywistych dodatnich x_{0}, x_{1}, …, x_{1995}, taki, że x_{0} = x_{1995} oraz spełniaj _{}acy warunek:

x_{i−1} + \frac{2}{x_{i−1}} = 2x_{i} + \frac{1}{x_{i}}

dla każdego i ∈ 1, 2, …, 1995.