Różności, głównie znowu geometria

1. Okr _{}ag wpisany w trójk _{}at ABC styczny jest do jego boków w punktach K, L, M odpowiednio. Pokazać, że 4[KLM] [ABC].

2. Znaleźć wszystkie x, y naturalne, że x^{2} + y i x + y^{2} s _{}a kwadratami liczb naturalnych.

3. Pokazać, że dla każdego ci _{}agu (x_{1}, x_{2}, …, x_{11}) liczb całkowitych da si_{}e dobrać taki ci _{}ag (a_{1}, a_{2}, …, a_{11}) liczb ze zbioru {−1, 0, 1}, że 2005|a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + … + a_{11}x_{11}.

4. Dwusieczna k _{}ata przy wierzchołku A w trójk _{}acie ABC przecina ponownie okr _{}ag opisany na nim w D. Niech E,F b_{}ed _{}a rzutami punktów B,C odpowiednio na prost _{}a AD. Pokazać, że AD BE + CF.

5. Okr_{}egi o_{1}, o_{2} przecinaj _{}a si_{}e w punktach M i N, zaś prosta k jest styczna do o_{1} w A a do o_{2} w B. Prosta l równoległa do AB przechodz _{}aca przez M przecina ponownie o_{1} w C i o_{2} w D. Proste AN i BN przecinaj _{}a l odpowiednio w P i Q, zaś przeci_{}ecie prostych AC i BD to E. Pokazać, że EP = EQ.

6. Dany jest czworok _{}at ABCD wpisywalny w okr _{}ag i taki, że istnieje okr _{}ag o środku na boku AB styczny do pozostałych boków tego czworok _{}ata. Pokazać, że AB = BC + DA.

7.Pokazać, że dla dowolnych m, n ∈ ℤ^{+} liczba \frac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!} jest całkowita.