RPA

1. Znaleźć wszytskie x, y całkowite dla których 1 + 3^{x} = 2^{y}.

2. Punkty A, B, C, D, E, F leż _{}a w tej kolejności na okr_{}egu γ, przy czym proste AD, BE, CF przecinaj _{}a si_{}e wjednym punkcie. Punkty P, Q, R s _{}a środkami odcinków AD, BE, CF odpowiednio. W okr_{}egu poprowadzono ci_{}eciwy AG i AH tak, by AG∥BE oraz AH∥CF. Pokazać, że trójk _{}aty DGH i P QR s _{}a podobne.

3. Dwusieczna k _{}ata BAD w równoległoboku ABCD przecina proste CD i BC odpowiednio w K i L. Pokazać, że środek okr_{}egu opisanego na trójk _{}acie CKL leży na okr_{}egu opisanym na trójk _{}acie BCD.

4. Ci _{}ag L_{i} określony jest nast_{}epuj _{}aco:

L_{1} = 1, L_{2} = 3, L_{n} = L_{n−1} + L_{n−2} ,

dla n > 2. Pokazać, że dla każdej liczby pierwszej p zachodzi p|L_{p} − 1.

5. Pokazać, że w czworok _{}acie wypukłym ABCD o obwodzie p zachodzi:

\frac{p}{2} < AC + BD < p

6. O liczbie rzeczywistej x wiemy, że wszystkie różnice pomi_{}edzy liczbami x^{1919}, x^{1960}, x^{2001} s _{}a całkowite. Pokazać, że x jest całkowita.

7. Iloczyn liczb dodatnich x_{1}, x_{2}, …, x_{n} wynosi 1. Pokazać, że istnieje takie k ∈ {1, 2, …, n} dla którego zachodzi:

\frac{x_{k}}{k + x_{1} + x_{2} + … + x_{k}} 1 − \frac{1}{\sqrt[n]{2}}

8. In ’n gegewe vyfhoek ABCDE het die driehoeke ABC, BCD, CDE, DEA en EAB almal dieselfde area. Die lyne AC en AD sny BE in die punte M en N. Bewys dat BM = EN.