Różne

25.03.2009

1. Prosta p jest nachylona do płaszczyzny ω pod k _{}atem 45^{∘} i przebija tę płaszczyznę w punkcie A. Prosta q leży w płaszczyźnie ω, przechodzi przechodzi przez punkt A i tworzy z rzutem prostok _{}atnym prostej p na płaszczyznę ω k _{}at 45^{∘}. Pokazać, że proste p i q tworz _{}a k _{}at 60^{∘}.

2. Udowodnij, że liczby rzeczywiste a, b, c o iloczynie 1 spełniaj _{}a tożsamość:

\frac{1}{1 + a + ab} + \frac{1}{1 + b + bc} + \frac{1}{1 + c + ca} = 1.

3. W tablicy 2n × 2n zamalowano 3n pól. Pokazać, że można wybrać n wierszy i n kolumn tak, żeby wszystkie zamalowane pola znalazły się w wybranych wierszach i kolumnach.

4. Wykaż, że dla dodatnich liczb rzeczywistych a, b, c o iloczynie 1 zachodzi nierówność:

\frac{a}{(a + 1)(b + 1)} + \frac{b}{(b + 1)(c + 1)} + \frac{c}{(c + 1)(a + 1)} ⩾ \frac{3}{4}.

5. Pokazać, że dla liczb a, b, c ∈ (0; 1) o sumie 2 zachodzi nierówność:

\frac{a}{1 − a} · \frac{b}{1 − b} · \frac{c}{1 − c} ⩾ 8.

6. Punkt I jest środkiem okręgu wpisanego w trójk _{}at ABC. Pokazać, że środek okręgu opisanego na trójk _{}acie BCI leży na prostej AI.