Równania funkcyjne

4.02.2009

1. Znaleźć wszystkie funkcje f:ℝ→ℝ spełniaj _{}ace dla każdych x, y ∈ ℝ:

f(x + y) = f(f(x)) + y + 1.

2. Znaleźć wszystkie funkcje f:ℝ→ℝ spełniaj _{}ace dla każdego x ∈ ℝ warunki:

(i) f(x) x; (ii) f(x + y) f(x) + f(y).

3. Znaleźć wszystkie funkcje f:ℝ\{0, 1}→ℝ, takie że dla każdego x ∈ ℝ:

f(x) + f ( \frac{1}{1 − x} ) = x.

4. Dane s _{}a funkcje f – parzysta, g – nieparzysta, f, g:ℝ→ℝ oraz ustalone c ∈ ℝ. Dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi równość:

g(x) = f(x + c).

Udowodnić, że f jest okresowa.

5. Wyznaczyć wszystkie takie funkcje f:ℝ→ℝ, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodzi równość:

f (f(x) − y) = f(x) + f (f(y) − f(−x)) + x.

6. Znaleźć wszystkie monotoniczne funkcje f:ℝ→ℝ, takie że dla każdych x, y ∈ ℝ:

f(x) + f(y) = f(x + y).