Zadania łatwe, ale nie wszystkie ;)

1. W kwadracie ABCD punkt N leży na przek _{}atnej BD. Pokazać, że punkty A,N oraz środki okr_{}egów opisanych na trójk _{}atach ABN i ADN tworz _{}a wierzchołki kwadratu.

2. Pokazać, że dla x, y, z rzeczywistych zachodzi:

x^{4} + y^{4} + z^{2} \sqrt{8}xyz

3. Znaleźć wszystkie liczby całkowite dodatnie n, by liczba 1! + 2! + 3! + … + n! była kwadratem liczby całkowitej.

4. Wyznaczyć wszystkie trójki liczb pierwszych p q r, by liczby:

pq + r, pq + r^{2}, pr + q, pr + q^{2}, qr + p, qr + p^{2}

były też pierwsze.

5. Trójk _{}at ABC, w którym ∠BAC = 90^{∘} jest podstaw _{}a ostrosłupa ABCD. Ponadto zachodz _{}a równości AD = BD oraz AB = CD. Pokazać, że ∠ACD 30^{∘}.

6. Wyznaczyć wszystkie takie liczby naturalne n, że dla dowolnych liczb dodatnich x_{1}, x_{2}, …, x_{n}, y_{1}, y_{2}, …, y_{n} zachodzi:

x_{1}x_{2} …x_{n} + y_{1}y_{2} …y_{n} \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}} · \sqrt{x_{2}^{2}y_{2}^{2}} · . . . \sqrt{x_{n}^{2} + y_{n}^{2}}

7. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych dodatnich a, b, że a^{b} = b^{2a}.