Równania funkcyjne  4 marca 2010

Definicja 1. Równaniami funkcyjnymi nazwiemy równania nieznanych funkcji. Aby znaleźć rozwiązania równania funkcyjnego, często:

• podstawiamy wartości pod zmienne (np. x = y, x = 0)

• badamy lub wykorzystujemy monotoniczność funkcji

• badamy lub wykorzystujemy ciągłość funkcji

• badamy lub wykorzystujemy ograniczoność funkcji

• badamy lub wykorzystujemy okresowość funkcji

• definiujemy nową funkcję na podstawie badanych i badamy jej własności

1. Zbadaj własności funkcji opisanych równaniami Couchy’ego:

• f(xy) = f(x) + f(y)

• f(x + y) = f(x) + f(y)

• f(x + y) = f(x)f(y)

• f(xy) = f(x)f(y)

2. Znajdź wszystkie funkcje f spełniające równanie Jensena: f (\frac{x+y}{2}) = \frac{f(x)+f(y)}{2} dla każdego x, y ∈ ℝ.

3. Znajdź jakieś (wszystkie) funkcje f takie, że f(x) = f(\frac{x}{2}) dla każdego x ∈ ℝ.

4. Znajdź wszystkie ciągłe rozwiązania f(x + y) = g(x) + h(y) dla x, y ∈ ℝ.

5. Udowodnij, że f jest okresowa, jeśli dla pewnej stałej a dla dowolnego x zachodzi f(x + a) = \frac{1+f(x)}{1−f(x)}.

6. Znajdź wszystkie wielomiany p spełniające równanie p(x + 1) = p(x) + 2x + 1.

7. Znajdź wszystkie funkcje f spełniające dla każdego x, y ∈ ℝ równanie xf(x)+yf(x) = (x + y)f(x)f(y).

8. Znajdź wszystkie niezerowe funkcje f spełniające dla każdego x, y ∈ ℝ równanie f(x)f(y) = f(x − y).

9. Znajdź wszystkie rozsądne (ciągłe lub ograniczone na przedziale lub monotoniczne) funkcje f spełniające f(x + y) + f(x − y) = 2[f(x) + f(y)] dla wszystkich x, y ∈ ℝ.

10. Znajdź wszystkie rozsądne funkcje f spełniające f(x + y) − f(x − y) = 2f(y) dla wszystkich x, y ∈ ℝ.

11. Znajdź wszystkie rozsądne funkcje f spełniające f(x + y) + f(x − y) = 2f(x) dla wszystkich x, y ∈ ℝ.

12. Znajdź wszystkie rozsądne funkcje f spełniające f(x + y) = \frac{f(x)f(y)}{f(x)+f(y)} dla wszystkich x, y ∈ ℝ.

13. Znajdź wszystkie funkcje f spełniające równanie f(x) + f(\frac{1}{1−x}) = x dla wszystkich x ∈ ℝ, x ≠ 0, 1.

14. Znajdź wszystkie ciągłe funkcje f spełniające równanie f(x+y) = f(x)+f(y)+xy(x+y) dla wszystkich x, y ∈ ℝ.