Resztki z Warsztatów, czyli nietrudne nierówności

12.11.2009

1. Znaleźć największ _{}a liczbę rzeczywist _{}a α spełniaj _{}ac _{}a dla wszystkich dodatnich liczb całkowitych n, k nierówność:

\frac{1}{\sqrt[k]{n}} + \frac{1}{\sqrt[n]{k}} > α.

2. Iloczyn liczb rzeczywistych a, b, c równy jest −1. Udowodnić nierówność:

a^{4} + b^{4} + c^{4} + 3(a + b + c) ⩾ \frac{a^{2}}{b} + \frac{a^{2}}{c} + \frac{b^{2}}{c} + \frac{b^{2}}{a} + \frac{c^{2}}{a} + \frac{c^{2}}{b}.

3. Pokazać, że dla dowolnych liczb nieujemnych x, , y, z prawdziwa jest nierówność:

\sqrt{1 − x} + \sqrt{4 − y + x} + \sqrt{9 − z + y} + \sqrt{16 + z} ⩽ 10.

4. Czworok _{}at ABCD jest wpisany w okr _{}ag. Punkty P, Q i R to rzuty punktu D na proste odpowiednio BC, CA i AB. Wykazać, że P Q = QR wtedy i tylko wtedy, gdy dwusieczne k _{}atów ABC i ADC przecinaj _{}a się na prostej AC.