Środek masy

Uwaga. Wszystko poniżej dotyczy płaszczyzny euklidesowej z prostokątnym układem współrzędnych. Utożsamiamy punkty z ich wektorami wodzącymi (np. A = A⃗ = O⃗A), co pozwala nam dodawać punkty i mnożyć je przez liczby rzeczywiste.

Definicja. Masą punktową nazywamy parę (m, P), gdzie P jest punktem, a m dowolną liczbą rzeczywistą, zwaną ”masą” (zatem dopuszczamy również ujemne masy). Definicja. Niech V = {(m_{1}, P_{1}), …, (m_{n} , P_{n})} będzie zbiorem (układem) mas punktowych. Przez M_{V} oznaczamy masę tego układu (czyli M_{V} = ∑ m_{i}). Jeśli M_{V} ≠ 0, środkiem masy układu V nazywamy punkt (wektor)

G_{V} = \frac{∑ m_{i} · P_{i}}{M_{V}} ,

Twierdzenie 0. G_{U+V} = \frac{M_{U} ·G_{U} +M_{V} ·G_{V}}{M_{U} +M_{V}} (przez U + V rozumiemy połączenie dwóch układów) . Twierdzenie 1. Stosunek, w jakim środek masy dwóch mas dodatnich zaczepionych w punktach A i B dzieli odcinek AB, jest równy stosunkowi tych mas.

Punkty szczególne trójkąta jako środki masy. Niech ABC będzie dowolnym trójkątem. Wówczas:

1. Środek ciężkości △ABC to środek masy układu {(1, A), (1, B), (1, C)}. Wniosek: dzieli on środkowe w stosunku 2 : 1.

2. Środek okręgu wpisanego w △ABC to środek masy układu {(a, A), (b, B), (c, C)}.

3. Ortocentrum △ABC to środek masy układu {(ctg β ctg γ, A), (ctg α ctg γ, B), (ctg α ctg β, C)}.

4. Środek okręgu opisanego na △ABC to środek masy układu {(sin 2α, A), (sin 2β, B), (sin 2γ, C)}.

Zadania

Zadanie 1 (Tw. Čevy). Dany trójkąt ABC oraz punkty X, Y, Z leżące na bokach odpowiednio BC, CA, AB. Wykazać, że proste AX, BY, CZ mają punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy

\frac{AZ}{BZ} · \frac{BX}{CX} · \frac{CY}{AY} = 1.

Zadanie 2 (Tw. Van Aubela). Dany trójkąt ABC oraz punkty X, Y, Z leżące na bokach odpowiednio BC, CA, AB. Proste AX, BY, CZ przecinają się w punkcie M. Wykazać, że \frac{AM}{MX} = \frac{AY}{Y C} + \frac{AZ}{ZB} .

Zadanie 3. Założenia jw., pokazać, że \frac{AM}{MX} · \frac{BM}{MY} · \frac{CM}{MZ} 8.

Zadanie 4. Niech H będzie ortocentrum trójkąta ABC wpisanego w okrąg o środku w O. Wykazać, że pola pewnych dwóch z trzech trójkątów OHA, OHB, OHC sumują się do pola trzeciego.

Zadanie 5. Na każdym polu szachownicy 2000 × 2000 leży kamyk. Ruch polega na przesunięciu dwóch kamyków leżących na polach oddalonych o 2 (w jednej kolumnie lub rzędzie) na pole pomiędzy nimi (na jednym polu może leżeć dowolna liczba kamieni). Czy można tak wybrać kolejność ruchów, aby wszystkie kamyki znalazły się na jednym polu?

Zadanie 6. Znaleźć środek masy obwodu trójkąta.

Moment bezwładności i twierdzenie Steinera

Definicja. Momentem bezwładności układu V względem punktu (osi) X nazywamy liczbę

I_{X} (V) = ∑ m_{i} · |XP_{i}|^{2}.

Twierdzenie Steinera. Dla dowolnego układu V posiadającego środek masy (M_{V} ≠ 0) i dowolnej osi X zachodzi

I_{X} (V) = I_{G_{V}} (V) + M_{V} |XG_{V} |^{2}.

Wniosek. Jeśli masa układu jest dodatnia, moment bezwładności jest najmniejszy względem środka masy.

Zadania

Zadanie 7. W danym trójkącie ABC znaleźć taki punkt X, by suma AX^{2} + BX^{2} + CX^{2} była najmniejsza.

Zadanie 8. Punkt P leży na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC. Wykazać, że suma AP^{2} + BP^{2} + CP^{2} nie zależy od wyboru punktu P.

Zadanie 9. Punkt P leży na okręgu wpisanym w trójkąt ABC. Wykazać, że suma AP^{2}BC + BP^{2}AC + CP^{2}AB nie zależy od wyboru punktu P.

Zadanie 10. M jest środkiem ciężkości trójkąta ABC. Wykazać, że

AB^{2} + BC^{2} + CA^{2} = 3(MA^{2} + MB^{2} + MC^{2}).

Zadanie 11. Czy w grę z zadania 5. można grać w nieskończoność?