Oto dwa niefirmowe rozwiązania zadań z pięciogodzinówki:

Zadanie 2 / dzień 3: Punkty A, P, Q, R i S leżą na okręgu w tej właśnie kolejności, przy czym

∠P AQ = ∠QAR = ∠RAS.

Wykazać, że

AR(AP + AR) = AQ(AQ + AS).

Równość z tezy zadania zapiszę tak:

\frac{AP}{AQ} + \frac{AR}{AQ} = \frac{AQ}{AR} + \frac{AS}{AR}.

Teraz stosunki odcinków wyrażam z tw. sinusów przez ilorazy sinusów. Oznaczam: wpisany oparty na P Q = QR = RS to będzie α, zaś wpisany oparty na AS to β. Pamiętam też, że sinx = = sin(π − x). Dla przykładu: AP : AQ = sin∠AQP : sin∠AP Q = sin(π − 3α − β) : sin(2α + β) = sin(3α + β) : sin(2α + β). Po podstawieniu wszystkiego, równość zadania wygląda tak:

\frac{sin(3α + β)}{sin(2α + β)} + \frac{sin(α + β)}{sin(2α + β)} = \frac{sin(2α + β)}{sin(α + β)} + \frac{sinβ}{sin(α + β)} .

Mogę sobie podstawić γ = α + β, wtedy znikną potrojone kąty. To już jest prosta tożsamość trygonometryczna (wiem, bo przeliczyłem =).

Zadanie 3 / dzień 3: Wykazać, że dla dowolnych rzeczywistych dodatnich x, y, z zachodzi:

\frac{xyz}{x^{3} + y^{3} + xyz} + \frac{xyz}{y^{3} + z^{3} + xyz} + \frac{xyz}{z^{3} + x^{3} + xyz} 1.

Zaczynam tak, jak w ”firmowym” rozwiązaniu: w każdym składniku sumy po lewej stronie dzielę licznik i mianownik przez xyz oraz podstawiam:

a = \frac{x^{2}}{yz}, b = \frac{y^{2}}{zx}, c = \frac{z^{2}}{xy}.

Nasze zadanie przyjmuje więc postać: wykazać, że dla dowolnych dodatnich a, b, c takich, że abc = 1 zachodzi nierówność:

\frac{1}{1 + a + b} + \frac{1}{1 + b + c} + \frac{1}{1 + c + a} 1.

Teraz podstawiam A = lna, B = lnb, C = lnc i mam A + B + C = 0 oraz

\frac{1}{1 + e^{A} + e^{B}} + \frac{1}{1 + e^{B} + e^{C}} + \frac{1}{1 + e^{C} + e^{A}} 1.

Niech φ(x, y) = \frac{1}{1+e^{x}+e^{y}} . Sprawdzamy łatwo, że

\frac{∂^{2}φ}{∂x^{2}} = \frac{∂^{2}φ}{∂y^{2}} < 0,

nasza funkcja jest zatem wklęsła. Toteż, z uogólnionej nierówności Jensena otrzymujemy:

L = φ(A, B) + φ(B, C) + φ(C, A) 3 · φ ( \frac{A + B + C}{3} , \frac{A + B + C}{3} ) = 3 · φ(0, 0) = 1 = P.

O uogólnionej nierówności Jensena przeczytacie w broszurce z LII Olimpiady Matematycznej, którą znajdziecie na stronie www.om.edu.pl w dziale ”zadania”.