Kółeczko na prima aprilis

Prima aprilis;)

Prima Suma nieujemnych liczb rzeczywistych a, b, c jest niewiększa od 3. Pokazać, że zachodzi nierówność:

\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + \frac{1}{1 + c} ⩾ \frac{3}{2}.

Secunda Ci _{}ag (a_{n}) określony jest następuj _{}aco: a_{1} = 1 oraz a_{n} = a_{1}a_{2}...a_{n−1} + 1 dla n ⩾ 2. Znaleźć najmniejsz _{}a możliw _{}a liczbę rzeczywist _{}a M, dla której nierówność:

∑_{i=1}^{m} \frac{1}{a_{i}} < M

spełniona jest dla każdego m ∈ ℕ.

Tertia Pokazać, że istnieje taki zbiór 2009 liczb naturalnych, że suma wszystkich elementów dowolnego podzbioru tego zbioru nie jest potęg _{}a liczby naturalnej.

Quarta Suma nieujemnych liczb rzeczywistych a_{1}, a_{2}, …a_{n} wynosi 1. Udowodnij, że:

\frac{a_{1}^{2}}{a_{1} + a_{2}} + \frac{a_{2}^{2}}{a_{2} + a_{3}} + … + \frac{a_{n}^{2}}{a_{n} + a_{1}} ⩾ \frac{1}{2}.

Quinta Dany jest trójk _{}at ABC, w którym AC = BC. Punkt D jest środkiem boku AB, a punkt E jest rzutem prostok _{}atnym punktu D na prost _{}a BC. Punkt M jest środkiem odcinka DE. Dowieść, że proste AE i CM s _{}a prostopadłe.

Sexta Czy istnieje czworościan foremny, którego wszystkie wierzchołki znajduj _{}a się w punktach o współrzędnych całkowitych?