KÓŁECZKO Z WARUNKOWEGO, CAŁKOWITEGO, BERNOULLIEGO (13.03.07)

1. TEORIA

1.1. Prawdopodobieństwo warunkowe Pozwala obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A, jeśli zaszło zdarzenie B o niezerowym prawdopodobieństwie. P (A|B) = \frac{P (A∩B)}{P (B)}

1.2. Prawdopodobieństwo całkowite P (A) = ∑ P (A|H_{i})P (H_{i}), gdzieH_{1}, …, H_{n}), gdzie H_{1}∪H_{2}∪…∪H_{n} = Ω, H_{i} ≠ H_{j}, P (H_{i}) < 0.

1.3. Wzór Bayesa Pozwala obliczyć prawdopodobieństwo dojścia do celu jedn _{}a z możliwych dróg. P (H_{i}|A) = \frac{P (H_{i})P (A|H_{i})}{∑ _{k=1}^{n} P (H_{k})P (A|H_{k})}

1.3. Schemat Bernoulliego W pojedynczej próbie prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p, wykonujemy n prób. Prawdopodobieństwo dokładnie k sukcesów wynosi:

P_{n}(k) = ( \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} ) p^{k}(1 − p)^{n−k}

1.4. Złota myśl rachunku prawdopodobieństwa Wzorkologia popłaca, ale czasem lepiej pomyśleć :)

2. ZADANIA

2.1. Rzucamy symetryczn _{}a kostk _{}a sześcienn _{}a 15 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, źe w pierwszym rzucie nie otrzymamy 6, a w pi_{}etnastym rzucie uzyskamy czwart _{}a szóstk_{}e?

2.2. W urnie mamy 6 kul białych ponumerowanych liczbami od 1 do 6 oraz 7 kul białych ponumerowanych od 1 do 7. Losujemy (bez zwracania) dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że s _{}a to kule różnych kolorów, jeśli na obu s _{}a numery parzyste?

2.3. W pierwszej urnie znajduj _{}a si_{}e 3 kule białe oraz 7 kul czarnych, a w drugiej urnie znajduj _{}a si_{}e 4 kule białe oraz 6 kul czarnych. Losujemy najpierw urn_{}e, a potem kul_{}e z wylosowanej urny. Wylosowaliśmy czarn _{}a kul_{}e. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowaliśmy pierwsz _{}a urn_{}e?

2.4. W kapeluszu znajduje si_{}e N kartek ponumerowanych liczbami od 0 do N −1. Losujemy kartk_{}e, a nast_{}epnie z pozostałych N − 1 kartek losujemy (bez zwracania) tyle razy, ile wynosiła liczba na tej kartce. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ostatnia wylosowana kartka miała numer 0?

2.5. Mamy monet_{}e, dl;a której prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi p, oraz dwiema urnami: urn_{}e A z trzema białymi kulami i dwiema czarnymi, oraz urn_{}e B z dwiema kulami białymi oraz dwiema czarnymi. Rzucamy monet _{}a i w przypadku otrzymania orła wyci _{}agamy dwie kule z urny A. Jeśli wyrzuciliśmy reszkę - z urny B. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych?

2.6. W urnie znajduje si_{}e n kul ponumerowanych liczbami 1, 2, …, n. Losujemy liczb_{}e k ze zbioru 0, 1, 2, …, n, a nast_{}epnie losujemy bez zwracania k kul z urny. Niech P_{n} b_{}edzie prawdopodobieństwem, że wylosowano wszystkie 4 liczby 1, 2, 3, 4, a nie wylosowano ani liczby 5, ani liczby 6. Rozstrzygn _{}ać, która z liczb: P_{44}, P_{666} jest wi_{}eksza.