Powtórzenie

11.03.2009

1. Dane s _{}a liczby całkowite a_{1}, a_{2}, …, a_{11}. Udowodnij, że istnieje taki niezerowy ci _{}ag (x_{1}, x_{2}, …, x_{11}) o wyrazach ze zbioru −1, 0, 1 , że liczba

∑_{i=1}^{11} a_{i}x_{i}

jest podzielna przez 2009.

2. P jest takim wielomianem o współczynnikach całkowitych, że zarówno równanie P (x) = 1, jak i P (x) = 3 ma co najmniej jedno rozwi _{}azanie całkowite. Rozstrzygnij, czy równanie P (x) = 2 może mieć dwa różne rozwi _{}azania całkowite.

3. Znaleźć wszystkie takie funkcje f : ℝ ⟼→ ℝ, że dla każdego x, y ∈ ℝ zachodzi

f(x^{3}) + f(y^{3}) = (x + y)(f(x^{2}) + f(y^{2}) − f(xy)).

4. Pokazać, że dla nieujemnych liczb a, b, c, d takich, że a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 1 zachodzi:

a^{2}b^{2}cd + a^{2}bc^{2}d + a^{2}bcd^{2} + ab^{2}c^{2}d + ab^{2}cd^{2} + abc^{2}d^{2} ⩽ \frac{3}{32}.

5. Na zewn _{}atrz trójk _{}ata ostrok _{}atnego ABC zbudowano kwadraty ABP Q i ACRS o środkach odpowiednio w X i Y. Pokazać, że okręgi opisane na trójk _{}atach ACQ, ABS i AXY przecinaj _{}a się w jednym punkcie różnym od A.

6. Czworok _{}at ABCD jest równoległobokiem, a trójk _{}aty ACM i BDN s _{}a równoboczne. Pokazać, że prosta MN jest prostopadła do któregoś z boków czworok _{}ata ABCD.

7. Okr _{}ag ω wpisany w trójk _{}at ABC jest styczny do boków BC, CA i AB odpowiednio w punktach K, L, M. P jest takim punktem na ω, że MP jest średnic _{}a okręgu ω. Proste KP i ML przecinaj _{}a się w punkcie Q. Pokazać, że CQ = CL.